Дифференциальное уравнение теплопроводности
Процесс распространения теплоты теплопроводностью математически описывается дифференциальным уравнением, выведенным на основе закона сохранения энергии.
; (6) –
Дифференциальное уравнение теплопроводности в неподвижной среде . - коэффициент температуропроводности; характеризует теплоинерционные свойства вещества. Чем больше , тем тело быстрее охлаждается (нагревается).
, , - не изменяются по направлению и во времени.
Для стационарных процессов - , т.е. температура не меняется со временем и уравнение (6) принимает вид . Т.к. а ¹ 0, то (7)
или - Дифференциальное уравнение теплопроводности в неподвижной среде при стационарном тепловом режиме. Уравнения (6) и (7) дают возможность решать задачи связанные с распространением тепла в теле путем теплопроводности как при стационарном, так и при нестационарном тепловом режиме. При решении конкретных задач уравнения дополняются соответствующими начальными и граничными условиями.
Теплопроводность плоской стенки
В инженерной практике часто встречаются задачи стационарной теплопроводности через плоскую и цилиндрическую стенки. Это задачи расчета тепловой изоляции аппаратов и трубопроводов.
Стенка состоит из однородного материала; d - толщина стенки;l - теплопроводность материала стенки; t ст1 , t ст2 – температура стенки. t ст1 > t ст2 .
Вывод уравнения теплопроводности плоской стенки
|
|
Запишем уравнение Фурье в развернутом виде
При стационарном режиме температура в различных точках постоянна во времени, т.е
Температурное поле одномерно (плоская стенка) .
Т.о. уравнение Фурье приобретает вид: d 2 t / dx 2 =0.
Проинтегрируем дважды: dt / dx = C 1 ; t = C 1 x + C 2. C 1 и С2 найдем из условий на границе: х=0; х= d . При х=0 t ст1 =С2, а при х= d t ст2 = C 1 d + t ст1 ;
C 1 =( t ст2 - t ст1 )/ d ; В результате получим
t = x ( t ст2 - t ст1 )/ d + t ст1 (8)
Температура по толщине стенки х меняется линейно, температурный градиент сохраняет постоянное значение. Подставим полученное значение градиента температуры в (4)-з. Фурье и получим уравнение теплопроводности плоской стенки при стационарном тепловом режиме
dQ = l / d ( t ст1 - t ст2 ) dFd t .
Q = l / d ( t ст 1 - t ст2 ) F t (9).
Здесь l / d - термическая проводимость стенки.
Теплопроводность цилиндрической стенки (самост.)
В тепловых процессах одновременно с теплопроводностью и конвекцией почти всегда имеет место тепловое излучение, причем, чем выше температура тела, тем больше тепла оно передает в виде теплового излучения.
Тепловое излучение
- это процесс распространения энергии в форме электромагнитных волн.
|
|
Взаимное излучение твердых тел
- лучистая энергия, попадающая на тело, частично поглощается, частично отражается, а частично проходит через тело. Поглощенная энергия увеличивает внутреннюю энергию тела, а значит и температуру тела. Твердые тела, как и жидкости, излучают сплошной спектр излучения. В твердых телах в процессах лучистого теплообмена участвуют поверхностные слои тела.
Тепловое излучение газов -газы излучают и поглощают не весь спектр длин волн, а лишь определенную часть. Кроме того, поглощение носит объемный характер, т.е. поглощение зависит от толщины газового слоя и давления.
Конвективный теплообмен
Конвективный теплообмен - это процесс переноса теплоты от стенки к движущейся относительно нее жидкости или от жидкости к стенке. Вследствие «прилипания» жидкости к поверхности стенки вблизи нее образуется пограничный слой, в котором движение определяется силами вязкого трения.
С точки зрения тепловых процессов, вблизи стенки также имеется тепловой пограничный слой, в котором тепло передается преимущественно путем теплопроводности.
Рис.
Наряду с теплопроводностью в движущейся жидкости происходит конвективный перенос теплоты, который обусловлен перемещением частиц жидкости из зоны с большей температурой в зону с меньшей температурой. Т.о. перенос теплоты от стенки к движущейся относительно нее жидкости или наоборот осуществляется одновременно путем теплопроводности и конвекции и называется конвективным теплообменом или теплоотдачей. При теплоотдаче тепло от стенки к жидкости или наоборот распространяется через пограничный слой в ядро потока, где распространяется уже путем конвекции. Очевидно, что на теплоотдачу существенное влияние оказывает режим движения жидкости. По природе возникновения различают свободное и вынужденное движение. Свободное - возникает из-за разности плотностей в жидкости, обусловленной термическим расширением. Вынужденное - обусловленно действием внешней силы (насосом, вентилятором). Вынужденное движение определяется свойствами жидкости (r,n,t), формой канала.
|
|
Различают ламинарный и турбулентный режим движения. Интенсивней теплообмен при турбулентном режиме.
Уравнение теплоотдач и- уравнение Ньютона.
Кинетика переноса теплоты от стенки к жидкости (или наоборот) выражается законом Ньютона: Количество теплоты в Дж, переданной от поверхности теплообмена к среде (или наоборот) прямо пропорционально поверхности теплообмена dF, разности температур стенки и среды D t и времени теплообмена d t.
|
|
dQ = a dF d t Dt (10 ),
где D t - разность температур стенки и жидкости, a- коэффициент теплоотдачи, Вт/м2град. Физический смысл a - выражает количество теплоты, передаваемое за 1с через 1м2 поверхности при D t=1 град. от теплоносителя к стенке (или наоборот).
Для стационарных процессов температура и a постоянны во времени и
dQ = a D t dF (11) .
При расчете конкретных стационарных процессов обычно принимают, что a постоянен вдоль поверхности теплообмена и уравнение теплоотдачи записывается в виде
Q = a D t F (12)
Это уравнение в расчетной практике применимо, если известно a. Однако, определение a связано с большими трудностями, т.к. на теплоотдачу влияет множество факторов: режим движения, скорость движения, физические параметры жидкости, форма и размер поверхности теплообмена, t ст. и tcp. и т.д. Т.о. для проведения расчетов по теплообмену необходимо уравнение, которое бы связывало a с переменными, выражающими условия конвективного теплообмена. Таким уравнением является дифференциальное уравнение конвективного теплообмена.
Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 426; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!