Производная функции, ее геометрический и механический смыслы.
Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
Определение. Производной функции f ( x ) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.
у
F ( x )
f ( x 0 + D x ) P
D f
f ( x 0 ) M
A b D x
x 0 x 0 + D x x
Пусть f ( x ) определена на некотором промежутке (a, b ). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.
,
где a - угол наклона касательной к графику функции f ( x ) в точке ( x 0 , f ( x 0 )).
Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.
Уравнение касательной к кривой:
Уравнение нормали к кривой: .
Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.
Физический смысл производной функции f ( t ), где t - время, а f ( t )- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.
Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение.
|
|
Односторонние производные. Производная сложной и обратной функции.
Односторонние производные функции в точке.
Определение. Правой (левой) производной функции f ( x ) в точке х = х0 называется правое (левое) значение предела отношения при условии, что это отношение существует.
Если функция f ( x ) имеет производную в некоторой точке х = х0, то она имеет в этой точке односторонние производные. Однако, обратное утверждение неверно. Во-первых функция может иметь разрыв в точке х0, а во-вторых, даже если функция непрерывна в точке х0, она может быть в ней не дифференцируема.
Например: f ( x ) = ï x ï - имеет в точке х = 0 и левую и правую производную, непрерывна в этой точке, однако, не имеет в ней производной.
Теорема. (Необходимое условие существования производной) Если функция f ( x ) имеет производную в точке х0, то она непрерывна в этой точке.
Понятно, что это условие не является достаточным.
Производная сложной функции.
Теорема. Пусть y = f ( u ); u = g ( x ), причем область значений функции u входит в область определения функции f .
Тогда
|
|
Доказательство.
( с учетом того, что если D x ® 0, то D u ® 0, т.к. u = g ( x ) – непрерывная функция)
Тогда
Теорема доказана.
Производная обратных функций.
Пусть требуется найти производную функции у = f ( x ) при условии, что обратная ей функция x = g ( y ) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке.
Для решения этой задачи дифференцируем функцию x = g ( y ) по х:
т.к. g ¢ ( y ) ¹ 0
Т.е. производная обратной функции обратна по величине производной данной функции.
Пример. Найти формулу для производной функции arctg .
Функция arctg является функцией, обратной функции tg , т.е. ее производная может быть найдена следующим образом:
Известно, что
По приведенной выше формуле получаем:
Т.к. то можно записать окончательную формулу для производной арктангенса:
Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 189; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!