Об использовании крутых фронтов

Н. – Но почему ты придаешь такое значение крутизне фронта и спада сигнала? Из эстетических соображений?

Л. – Совсем нет. Это необходимо, если мы захотим вновь деформировать наш прямоугольный сигнал, на этот раз путем дифференцирования.

Н. – Ой, ой! В «дифференцировании» несомненно участвуют «дифференциалы», и это начинает меня сильно беспокоить.

Л. – Для беспокойства совершенно нет причин. Знаешь ли ты цепь, изображенную на рис. 64?

Рис. 64. Этот фильтр верхних частот называют дифференцирующей схемой. Он пропускает крутые фронты напряжения U_вх , но искажает пологие участки этого напряжения.

Н. – Нет… прости, да! Это та самая цепь, которую включают между анодом одной лампы и сеткой следующей лампы, чтобы задержать постоянную составляющую и пропустить переменную.

Л. – Верно. Что произойдет, если на вход этого фильтра подать напряжение, изменяющееся, как показывает график на рис. 65: напряжение продолжительное время держится на одном уровне (равно нулю), а затем резко возрастает до величины А и бесконечно долго остается на этом уровне?

Рис. 65. Кривая скачкообразного изменения напряжения, приложенного на вход схемы, изображенной на рис. 64.

Н. – Ответить чрезвычайно сложно. Я могу только сказать, что пока подаваемое на вход напряжение имеет постоянное значение, выходное напряжение останется равным нулю. А вот что произойдет' потом…

Л. – Ты можешь сказать мне еще одну вещь: каким будет выходное напряжение спустя много времени после резкого изменения входного напряжения?

Н. – Если подождать довольно долго, выходное напряжение должно стать равным нулю, потому что входное напряжение опять имеет постоянное значение. А вот… U_вых . всегда равно нулю!!!

Л. – Не торопись! До скачка U_вх выходное напряжение равно нулю, и много времени спустя после скачка оно вновь равно нулю, но в момент скачка входного напряжения все обстоит иначе. Предположим, что скачок происходит за время, равное нулю. Скажи, на сколько может зарядиться конденсатор за время, равное нулю?

Н. – Дай подумать. Чтобы зарядиться, конденсатор должен получить некоторое количество электрической энергии. Чтобы получить энергию за равное нулю время, ток должен быть бесконечно большим. Но тогда разве он может зарядиться?

Л. – Скажи «совсем не может», и ты будешь прав. Никогда не забывай, Незнайкин, что: «Напряжение на выводах конденсатора не может измениться на конечную величину за равное нулю время ».

Н. – Хорошо, твое правило я попрошу высечь на мраморе своего камина. Но какое отношение имеет оно к нашей задаче?

Л. – Просто‑напросто оно дает нам решение. Какое напряжение было бы на конденсаторе С перед скачком U_вх ?

Н. – Хм… Нуль, потому что U_вх и U_вых были равны нулю.

Л. – Совершенно верно. Перед самым скачком U_вх заряжающее конденсатор напряжение было равно нулю. А каким оно стало сразу после скачка U_вх ?

Н. – Твои подчеркивания «перед самым скачком» и «сразу после скачка» заставляют меня думать, что интервал между этими двумя моментами времени равен нулю. Применив твое замечательное правило, я должен сделать вывод, что заряд конденсатора имеет такую же величину, т, е. нуль.

Л. – Превосходно. Двадцать из двадцати. Однако сразу же после скачка U_вх потенциал левой обкладки конденсатора С повысился до величины А . До какого уровня тогда поднимется потенциал правой обкладки?

Н. – Разумеется, до величины А , потому что конденсатор С был разряжен. Но тогда… по резистору R должен пройти ток, а это невозможно, так как конденсатор не может пропустить ток!

Л. – Не увлекайся. Да, сразу же после скачка входного напряжения по резистору R пойдет ток, и в начале его величина будет A /R . Ведь конденсатор имеет полное право пропустить ток, если этот ток заряжает, произойдет следующее: по мере заряда конденсатора С ток в резисторе R будет снижаться.

Н. – И, если подождать достаточно долго, С зарядится до напряжения А , после чего в R не будет тока, и U_вых вновь станет равно нулю.

Постоянная времени

Л. – О, Незнайкин, как быстро ты все понимаешь сегодня! Выходное напряжение изменяется так, как я показал на рис. 66.

Рис. 66. Форма напряжения на выходе дифференцирующей схемы, на вход которой подается скачкообразно изменяющееся напряжение, изображенное на рис. 65. Пунктирной линией обозначена форма напряжения при малом произведении (RC)₃, сплошной – при среднем (RС)₂ и штрих‑пунктирной – при большом (RC)₁.

Скорость снижения напряжения определяется произведением R на С , которое называется постоянной времени схемы и выражается в секундах (при С в фарадах и R в омах). В самом деле, чем больше емкость конденсатора С при данном сопротивлении R , тем медленнее он заряжается; чем больше сопротивление резистора R (при данной емкости С ), тем больше времени требуется на заряд конденсатора. Можно легко доказать, что по истечении времени, равного постоянной времени RC, выходное напряжение падает примерно до 37 % величины А . По истечении удвоенного такого отрезка времени RC выходное напряжение составляет только 13,5 % величины А , после утроенного времени RC можно сказать, что выходного напряжения уже совсем нет, так как напряжение упало до 5 % величины А . Если произведение RC невелико, выходное напряжение изменяется, как показано пунктирной линией на рис. 66; при большой величине RC кривая принимает форму, показанную на рис. 66 штрих‑пунктирной линией. При очень малой величине произведения RC кривая выходного напряжения имеет вид короткого сигнала импульсного типа (рис. 67).

Рис. 67. Короткий импульс, получаемый на выходе дифференцирующей схемы с малым произведением (RC)₃ при подаче на ее вход скачкообразно изменяющегося напряжения.

Н. – Хорошо, это я понял. Но напряжение, получаемое на выходе триггера Шмитта или амплитудного ограничителя, имеет совсем не такую форму, как на рис. 65. Оно состоит из чередующихся фронтов и срезов. Скажи, пожалуйста, что получится, если это напряжение (рис. 68, а ) подать на вход схемы, изображенной на рис. 64.

Л. – Фронт и срез – практически одно и то же, различие между ними лишь в направлении изменений. На выходе схемы срез даст нам отрицательный импульс (рис. 68, б ).

Рис. 68. Прямоугольный сигнал (а ) представляет собой периодическую последовательность резких подъемов и спадов. Дифференцирующая схема с малой постоянной RC превращает этот сигнал в чередующиеся положительные и отрицательные импульсы (б ).

Н. – В сущности это очень просто. Теперь я понимаю, почему ты так стремишься получить крутые фронт и срез: при медленном изменении напряжения конденсатор С успел бы зарядиться и перестал передавать изменения входного напряжения. Но и в этих условиях можно получить хороший результат, достаточно увеличить R или С (или обе величины) и тогда конденсатор С будет мало разряжаться во время изменения сигнала.

Л. – Незнайкин, ты сегодня определенно в прекрасной форме, но будь осторожен; если ты увеличишь произведение RC, может случиться, что между двумя сигналами конденсатор С не успеет полностью зарядиться; тогда выходное напряжение примет такую форму, которую я изобразил для тебя на рис. 69. Поэтому нужно сделать постоянную времени RC большой по сравнению с длительностью сигнала и малой по сравнению с периодом сигнала. Чем меньшую часть периода занимает сигнал, тем легче подобрать постоянную времени RC.

Рис. 69. Если постоянная времени RC‑схемы достаточно велика по сравнению с периодом сигнала, то выходное напряжение принимает иную форму. Конденсатору С не хватает времени полностью зарядиться.

Н. – Бедный сигнал, его совсем лишили человеческого лица! Исходную синусоиду (можно предположить, что сначала наш сигнал имел именно такую форму) с помощью триггера Шмитта превратили в прямоугольные сигналы, а затем в короткие импульсы с помощью твоей схемы с рис. 64… кстати, как называется эта схема?

Интегрирующая схема

Л. – Ее называют дифференцирующей схемой . Как видишь, ты напрасно испугался этого названия. Но мы на этом не остановимся, ибо сигнал можно подвергнуть и другим деформациям. Что ты думаешь о схеме на рис. 70? Ее название я скажу тебе потом.

Рис. 70. Фильтр нижних частот, используемый в качестве интегрирующей схемы.

Н. – Это та же самая схема, что показана на рис. 64, только ты поменял местами R и С .

Л. – Но эта деталь все изменяет! Что мы получим на выходе схемы, если на ее вход подадим прямоугольные сигналы?

Н. – Здесь имеются резистор и соединенный с ним последовательно конденсатор, поэтому мы возможно получим то, что ты раньше нарисовал на рис. 68, б .

Л. – Какой ужас! Ведь я тебе объяснил, что «напряжение на выводах конденсатора не может измениться на конечную величину за равное нулю время». Но посмотри, Незнайкин, если на вход схемы (см. рис. 64) подать прямоугольные сигналы (см. рис. 68, а ) и если на выходе, т. е. на выводах резистора R, получим сигнал, изображенный на рис. 68, б то на выводах конденсатора должен быть такой сигнал, который, будучи прибавленным к сигналу на рис. 68, б , даст сигнал, показанный на рис. 68, а .

Н. – Ты хочешь сказать разность этих двух сигналов? Хорошо, я могу найти ее графически. Подожди минутку… интересующий тебя сигнал я начерчу на рис. 71.

Рис. 71. При подаче на вход интегрирующей схемы прямоугольного сигнала с большим по сравнению с постоянной времени RC периодом на выходе получают сигнал с округленными фронтами, очень мало похожий на входной сигнал.

Л. – Очень хорошо. Как ты видишь, на выводах конденсатора находится тот самый сигнал, который мы получим на выходе схемы, приведенной на рис. 70. Этого можно было ожидать. При изменении входного сигнала сигнал на выходе реагирует не сразу, так как требуется некоторое время, пока конденсатор С зарядится до нового напряжения.

Н. – Фронты и срезы твоего прямоугольного сигнала стали наклонными и округленными. Для чего нужен такой сигнал?

Л. – Такой сигнал, как ты нарисовал, действительно не представляет большого интереса. Но предположим, что я увеличу произведение RC. Как при этом изменится форма сигнала на выходе?

Н. – Я предполагаю, что конденсатор С получит меньше тока (он увеличился и его потребности возросли), и поэтому он не успеет зарядиться к моменту прихода второго сигнала. Вероятно, в результате получим сигнал, форма которого показана на рис. 72.

Рис. 72. При большей величине RC конденсатор С не успевает полностью зарядиться между двумя изменениями напряжения.

Л. – Ты прав. Если еще увеличить RC, то выходное напряжение будет изменяться мало и выходной сигнал примет форму, изображенную на рис. 73.

Рис. 73. При дальнейшем увеличении произведения RC амплитуда выходного сигнала уменьшается.

Зубья пилы для пилки дерева

Н. – Смотри, твоя кривая состоит из прямых отрезков!

Л. – Так оно и есть. Выходное напряжение по сравнению с входным мало, и можно сказать, что напряжение на выводах резистора R в интервалах между переходами почти постоянное. Следовательно, зарядный (или разрядный) ток остается почти постоянным и конденсатор С заряжается (или разряжается) почти линейно. Чтобы ты мог лучше видеть форму напряжения на выходе, я увеличил масштаб полученной кривой по вертикали (рис. 74).

Рис. 74. Если выходной сигнал (рис. 73) вычертить в другом масштабе, четко видны почти равносторонние треугольники, напоминающие зубья пилы.

Н. – Странная форма, прямо как зубья пилы для пилки дерева.

Л. – Верно, по этой причине сигнал назвали «зубьями пилы» или «симметричным пилообразным сигналом». Его используют в тех случаях, когда нужно периодически и линейно изменять напряжение вверх и вниз. Это один из возможных случаев применения изображенной на рис. 70 схемы, которую называют интегрирующей.

Н. – Так вот почему ты не хотел сказать мне название схемы! Но скажи, пожалуйста, почему этим схемам дали такие жуткие названия.

Математические определения

Л. – Ну так, Незнайкин, ты сам захотел! Чтобы ответить на твой вопрос, необходимо хотя бы в самой общей форме объяснить, что такое производная и интеграл. Впрочем, это не очень разрядит твой мозг.

Функцией называют величину у , зависящую от другой величины х , которую называют переменной: каждому значению (причина) соответствует определенная величина у (следствие). Посмотри, как «реагирует» величина у на изменения переменной относительно заданного значения а . Иначе говоря, сравним изменения следствия с изменениями породившей их причины (рассчитав для этого коэффициенты этих изменений). Ответом может служить отклонение функции относительно точки а . Мы рассмотрим возможно малые изменения х относительно величины а , чтобы точнее установить, как ведет себя функция в окрестности величины а .

Как ты видишь, мы легонько «пощекочем» переменную (причину) и посмотрим, как это скажется на функции (следствии). Если следствие этого «щекотания» будет велико, мы скажем, что производная большая.

Если переменной служит время, а функцией – пройденным путь, то производной является скорость. Например, если для каждого момента известно место нахождения автомобиля на дороге, то мы можем рассчитать его скорость. Если в момент, который я обозначу t₀ , автомобиль находится в некотором месте, а в момент t₀ + 2 сек (т. е. 2 сек спустя) он находится на 30 м дальше, то я могу рассчитать его скорость, разделив прирост пройденного пути (30 м) на прирост времени (2 сек)

30 м: 2 сек = 15 м/сек (или 54 км/ч).

Следовательно, я могу сказать, что скорость в данном месте есть производная от пройденного пути по времени. Эта производная велика, когда пройденный путь быстро увеличивается с увеличением времени.

Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 238; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 14 15 16 17 181920 21 22 23 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!