Выпишите целые десятичные числа, принадлежащие следующим числовым промежуткам:

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА. Системы счисления

Система счисления, или просто счисление, или нумерация,— набор конкретных знаков–цифр вместе с системой приемов записи, которая представляет числа этими цифрами.

Цель работы – приобретение навыков выполнения операций в различных системах счисления.

 

Основные понятия систем счисления

 

Система счисления — это совокупность правил и приемов записи чисел с помощью набора цифровых знаков. Количество цифр, необходимых для записи числа в системе, называют основанием системы счисления. Основание системы записывается справа числа в нижнем индексе: .

Различают два типа систем счисления:

- позиционные - значение каждой цифры числа определяется ее позицией в записи числа;

- непозиционные - значение цифры в числе не зависит от ее места в записи числа.

Примером непозиционной системы счисления является римская: числа IX, IV, XV и т.д. Примером позиционной системы счисления является десятичная система, используемая повседневно.

Любое целое число в позиционной системе можно записать в форме многочлена:

,

где  — основание системы счисления;

— цифры числа, записанного в данной системе счисления;

n — количество разрядов числа.

Пример. Число  запишется в форме многочлена следующим образом:

Десятичная система счисления – в настоящее время наиболее известная и используемая. неправильное название удерживается и поныне.

Десятичная система использует десять цифр —– 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а также символы “+” и “–” для обозначения знака числа и запятую или точку для разделения целой и дробной частей числа.

В вычислительных машинах используется двоичная система счисления, её основание — число 2. Для записи чисел в этой системе используют только две цифры — 0 и 1.

Таблица 1. Соответствие чисел, записанных в различных системах счисления

Десятичная	Двоичная	Восьмеричная	Шестнадцатеричная
1	0001	1	1
2	0010	2	2
3	0011	3	3
4	0100	4	4
5	0101	5	5
6	0110	6	6
7	0111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

 

Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую

Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода.

1. Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:

Таблица 2. Степени числа 2

n	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	0.125	0.25	0.5	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

Пример 1.

Число  перевести в десятичную систему счисления.

 

Пример 2.

Число  перевести в десятичную систему счисления.

101.01₂ = 1∙2³+1∙2²+0∙2¹+1∙2⁰+0∙2^-1+1∙2^-2 = 8+4+0+1+0+0.25 = 13.25₁₀

2. Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки:

Таблица 3.4. Степени числа 8

n	0	1	2	3	4	5	6
	1	8	64	512	4096	32768	262144

 

Пример. Число перевести в десятичную систему счисления.

3. Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней числа 16:

Таблица 3. Степени числа 16

n	0	1	2	3	4	5	6
	1	16	256	4096	65536	1048576	16777216

 

Пример. Число перевести в десятичную систему счисления.

4. Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример 1. Число перевести в двоичную систему счисления.

 

Пример 2. Число  перевести в двоичную систему счисления

Целая часть числа находится делением на основание новой

54	2
-54	27	2
0	-26	13	2
	1	-12	6	2
		1	-6	3	2
			0	-2	1
				1

Получилось: 54₁₀ = 110110₂

Дробная часть числа находится умножением на основание новой

	0	.8
	.	2
	1	6
		2
	1	2
		2
	0	4
		2
	0	8
		2
	1	6
		2
	1	2
		2
	0	4
		2
	0	8
		2
	1	6
		2
	1	2
		2
	0	4
		2

Получилось: 0.8₁₀ = 0.11001100110₂
Сложим вместе целую и дробную часть вот так:
110110₂ + 0.11001100110₂ = 110110.11001100110₂
Результат перевода:
54.8₁₀ = 110110.11001100110₂

5. Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример 1. Число  перевести в восьмеричную систему счисления.

571	8
568	71	8
3	-64	8	8
	7	-8	1
		0

 

Пример 2. Число перевести в восьмеричную систему счисления.

Целая часть числа находится делением на основание новой

39	8
-32	4
7

Получилось: 39₁₀ = 47₈

Дробная часть числа находится умножением на основание новой

	0	.41
		8
	3	28
		8
	2	24
		8
	1	92
		8
	7	36
		8
	2	88
		8
	7	04
		8
	0	32
		8
	2	56
		8
	4	48
		8
	3	84
		8
	6	72
		8

Получилось: 0.41₁₀ = 0.32172702436₈
Сложим вместе целую и дробную часть вот так:
47₈ + 0.32172702436₈ = 47.32172702436₈
Результат перевода:
39.41₁₀ = 47.32172702436₈

6. Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

7. Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл. 3).

Пример. Число перевести в восьмеричную систему счисления.

8. Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл. 3).

Пример. Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

9. Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой.

Пример. Число перевести в двоичную систему счисления.

10. Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой.

Пример. Число перевести в двоичную систему счисления.

11. При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему.

Пример 1. Число перевести в восьмеричную систему счисления.

Пример 2. Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

3. Арифметические действия над целыми числами в 2-ой системе счисления :

1.Операция сложения выполняется с использованием таблицы двоичного сложения в одном разряде: Пример. а) +10012          б) +11012  в)  +111112 10102              10112                      12 100112            110002            1000002 2.Операция вычитания выполняется с использованием таблицы вычитания, в которой 1 обозначается заем в старшем разряде. Пример. а) –1011100112            б) –1101011012    1000110112                      1010111112    0010110002                      0010011102

Задание

Необходимо выполнить следующие задания, с подробным описанием решения. Например:

Число перевести в десятичную систему счисления

Решение:

 

Требования к оформлению:

На тетрадных листках в клеточку, с указанием ФИО, номера группы.

 

1. Переведите из десятичной системы счисления в римскую систему счисления: 27; 67; 743; 196; 78; 24; 478;

2. Переведите из римской системы счисления в десятичную систему счисления: IV; XXVIII; DCCCXLV; MMMCDLXXXIX; VIII; XXXVII ; CDLXXIV ; CD; CM

Выполнить перевод чисел

 

а) из 10–ой с/с в 2–ую систему счисления: 165; 541; 600; 720; 43,15; 234,99.

 

б) из 2–ой в 10–ую систему счисления: 110101₂; 11011101₂; 110001011₂; 1001001,111₂

 

в) из 2–ой с/с в 8–ую ,16–ую с/с:

100101110₂; 100000111₂; 111001011₂; 1011001011₂; 110011001011₂; 10101,10101₂; 111,011₂

 

г) из 10–ой с/с в 8–ую, 16–ую с/с: 69; 73; 113; 203; 351; 641; 478,9; 555

 

д) из 8–ой с/с в 10–ую с/с: 35₈ ; 65₈ ; 215₈ ; 327₈ ; 532₈ ; 751₈; 45,454₈

 

е) из 16–ой с/с в 10–ую с/с: D8₁₆ ; 1AE₁₆ ; E57₁₆ ; 8E5₁₆ ; FAD₁₆; AFF ₁₆

 

ж) из 16–ой с/с в 8–ую с/с: 1D2B₁₆ ; 2E6₁₆ ; FEA₁₆ ; AAD5₁₆ ; 356₁₆; 678D ₁₆

 

Выпишите целые десятичные числа, принадлежащие следующим числовым промежуткам:

[10101₂; 110000₂];  [14₈; 20₈];  [18₁₆; 30₁₆]

 

Выполнить операции:

а) сложение в двоичной системе счисления

+ 10010011₂      + 1011101₂         + 10110011₂                +10111001,1₂

     1011011₂       11101101₂              1010101₂             10001101,1₂

 

б) вычитание в 2–ой системе счисления

– 100001000₂ – 110101110₂        – 11101110₂            -10111001,1₂

      10110011₂      10111111₂              1011011₂                   10001101,1₂

 

Вычислите выражение:

(1111101₂ + AF₁₆) / 36₈; 125₈ + 11101₂ ´ A2₁₆ / 1417₈

---

Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 2739; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!