Задачи на четность и нечетность
·
Математические ребусы
Математическими ребусами называют задания на восстановление записей вычислений. Условие математического ребуса содержит либо целиком зашифрованную запись (цифры заменены буквами), либо только часть записи(стертые цифры заменены точками).
Например «Три + три + три = дыра»
В этом ребусе все цифры заменили на буквы, при наличии одинаковых цифр использовали одинаковые буквы.
Или " 5*36 + 1** = *347" Здесь потеряны некоторые числа.
Восстановите поврежденные записи арифметических действий
Вариант А Вариант Б
** **
+ +
* **
----- -----
**8 *98
Рассматривая данную разновидность ребусов, нужно обратить свое внимание на то , что сумма двузначного и однозначного чисел является трехзначным числом, поэтому первая цифра в сумме будет 1. А число 1*8 может получиться только в сумме наибольшего двузначного числа и наибольшего однозначного. Аналогично во втором случае, сумма равна 198. А так как слагаемые двузначные числа и самое большое двузначное число будет 99, то решением будет 99 + 99 = 198.
Восстановите запись: КВ*КВ = КСС.
Давайте подумаем: когда произведение КВ • КВ начинается той же цифрой А, что и число АВ? Это возможно только при А = 1.
А когда такое произведение оканчивается двумя одинаковыми цифрами? Это возможно в двух случаях:
10*10 = 100, 12*12 = 144. Но первый вариант отпадает, так как тогда В = С = 0, а разные буквы должны обозначать разные цифры.
|
|
|
Ответ: 12*12 = 144
Решите ребус:
КОКА
+КОЛА
-----
ВОДА
Если вы забыли как считать столбиком – посмотрите здесь
В последнем столбце стоит одна и та же цифра "А". И она может равняться только нулю (Так как все другие цифры при сложении будут отличаться). А теперь обратим внимание на второй столбец: в нем аналогичное положение с цифрой "О" Отсюда "О" равна нулю или 9. "О" не может равняться нулю, так нуль обозначается в данном ребусе как "А" остается "О" = 9 (9 + 9 = 18 +1 десяток из третьего столбика 9 + 9 +1 = 19)
Для нахождения "К" рассмотрим первый столбец. Очевидно, "К"отлична от нуля и не превосходит 4(так как 5+5 дает уже 10 – двухзначное число) Тогда «К» принимает одно из значений 1, 2, 3, 4. и у нас получается четыре случая.
1) Пусть "К" =1.
Получаем, что в третьем столбце Л = 9, поскольку во втором столбце должно быть 9 + 9 + 1 = 19. Но тогда Д = 0, а это невозможно.
2) Пусть "К" = 2.
Подставим в ребус значения "К"= 2, "А" = 0, "О" = 9.
2920
+29Л0
В9Д0.
Из третьего столбца
2 + "Л" =10 + "Д", "Л" = 8 + "Д".
Отсюда "Д" = 0 или "Д" = 1, соответственно "Л" = 8 или "Л" = 9. Но обе эти возможности исключаются.
3) Пусть "К" = 3.
|
|
|
Получаем:
3930
+39Л0
В9Д0.
Тогда 3 + "Л" =10 +"Д" , "Л" = 7 + "Д", а значит, "Д" = 1, "Л" = 8. Кроме того, "В" = 7.
4) Пусть "К" = 4.
Следовательно, В = 9. Но последнее невозможно. Итак, решение получается только в третьем случае.
Ответ: 3930 + 3980 = 7910
Решите ребус: си • си = соль
Основание квадрата и сам квадрат начинаются с одной и той же буквы "С". Это возможно только при "С" = 1 и "С" = 9.
Смотри таблицу квадратов
Но первый вариант отпадает, так как в этом случае квадрат числа "СИ" трехзначен. Остается "С" = 9.
Найдем цифру "И". Минимальное значение "И", при котором квадрат числа 9И начинается с цифры 9, есть "И" = 5 : 952 = 9025, но в этом случае "И" = "Ь", что невозможно.
Проверим еще случаи "СИ" = 96," СИ" = 97 и "СИ" = 98. Подходит только "СИ" = 98.
Ответ: 98 • 98 = 9604
Решите ребус:
ДРАМА
+ДРАМА
-----
ТЕАТР
Очевидно, Д < 4. В разряде тысяч имеем А + А = А, значит, А = 0 (без перехода) или А = 9 (с переходом). Значение А = 0 не подходит, так как в разряде единиц А + А = Р (получаем А = Р = 0). Значит, А = 9, Р= 8, Е = 7. Тогда 2М + 1 =10 + Т, Т < 9, значит, М = 5 или 6 (так как получается переход), а значения 7 и 8 уже заняты буквами Е и Р. При М = 6 получается решение:
|
|
|
18969
+
18969
---------
37938
Решите ребус:
КОШКА
+КОШКА
+КОШКА
-----
СОБАКА
Так как КА +КА +КА оканчивается на КА, то КА = 50, а значит, К = 5, А = 0. Так как Ш + Ш + Ш + 1 оканчивается на 0, то Ш = 3. Так как сумма трех чисел, начинающихся на 5, может начинаться лишь с 1, то С = 1. Рассматривая варианты для О, получаем, что О = 6 или О = 7, а значит, Б = 9 или Б = 2. Итак, получаем два варианта решения:
56350
+
56350
+
56350
----------
169050
или
57350
+
57350
+
57350
----------
172050
Восстановите запись: ТОРГ- Г = ГРОТ
Цифра "Т" является цифрой единиц квадрата числа "Г". Следовательно, "Т" может принимать значения 0, 1, 4, 5, 6 и 9. Но значения "Т" = 0 и "Т" = 5 нужно сразу отбросить. Разберем остальные четыре возможности. При этом нужно учитывать, что на основании условия "Г" > "Т".
1) Пусть "Т" = 1.
Тогда "Г" = 9. Для нахождения "О" и "Р" подставим в ребус значения "Т" = 1, "Г" = 9:
1ОР9 - 9 = 9РО1.
Развернем это равенство, заменяя четырехзначные числа их разложениями по степеням 10:
(1000 + 100 • "О" + 10 • "Р" + 9) • 9 = 9000 + 100 • "Р" + "О" + 1,
9000 + 900 • "О" + 90 • "Р" + 81 = 9001 + 100 • "Р" + 10 + "О",
890 - 0 + 80 = ЮР, Р = 89 - О + 8.
|
|
|
Отсюда "О" равно нулю, а "Р". — 8. Получаем: 1089 • 9 = 9801.
2) Пусть "Т" = 4.
Тогда "Г" = 2 или "Г" = 8. Но "Г" = 2 исключается, поскольку "Г" должно быть большим, чем "Т", а при "Г" = 8 будем иметь:
4ОР8 • 8 = 8РО4.
Последнее равенство невозможно, так как его левая часть — число пятизначное, а правая — четырехзначное.
3) Пусть "Т" = 6.
В этом случае "Г" = 4. Получилось, что "Г" < "Т", что невозможно.
4) Пусть "Т" = 9. Тогда "Г" = 3 или "Г" = 7, а это также исключается.
Ответ: 1089 - 9 = 9801
Решите ребус:
ГОРА
+ ОГОНЬ
ВУЛКАН
Три цифры можно найти сразу:
"В" =1, "У" = 0, "О" = 9.
Найдем цифру "К". Так как она получается при сложении 9 с 9 и, разумеется, отлична от 9, то "К" = 8.
Дальнейшее решение сводится к восстановлению записи:
Г9РА
+ 9Г9НБ
10Л8АН.
Отсюда РА+НЬ = АН, Г + Г+1=Л + 10, 2Г = Л + 9.
Из последнего равенства следует, что цифра "Л" нечетна. Кроме того, она отлична от 1 и 9. Тогда она может принимать значения 3, 5 и 7.
1) Пусть "Л" = 3.
Значит, "Г" = 6.
Теперь присмотримся к равенству
РА
+ НЬ
АН.
Мы уже использовали цифры 0, 1, 3, 6, 8, 9. Следовательно, для цифр "Р", "А", "Н" и "Ь" остались значения 2, 4, 5 и 7.
Из последнего равенства видно, что значение 7 может принимать только цифра "А". Тогда "Р" = 2, "Н" = 4 или "Р" = 4, "Н" = 2, а значит, "Ь" = 5. Но так как из последнего столбца "Н" = 2, то выполняется только вторая возможность: "Р" = 4, "Н" = 2. Получим: 20
6947 + 96925 = 103872.
2)Пусть "Л" = 5. В этом случае "Г" = 7.
Тогда цифры "Р", "А", "Н" и "Ь"из последнего ребуса принимают значения 2, 3, 5 и 6.
При этом "А" = 6. Но если "Ь" принимает значение 2, 3 или 4, то сумма "А" + "Ь" второго столбца равна соответственно 8, 9 или 10, что невозможно.
3) Пусть "Л" = 7.Тогда "Г" = 8. Получилось, что "К" = "Г". Следовательно, этот случай также невозможен.
Ответ: 6947 + 96925 = 103872
ЧАЙ : АЙ = 5
Для его решения лучше перейти от деления к умножению: 5*АЙ = ЧАЙ, значит Ч*100 + АЙ =АЙ*5 и тогда Ч*25 = АЙ. Так как АЙ – двузначное, то Ч = 1,2,3. Для каждого Ч находим решение: 125, 250, 375. Итак, получаем три решения:
125 : 25 = 5
250 : 50 = 5
375 : 75 = 5
КАКОЕ
+ ЧИСЛО
В
----------
ОТВЕТЕ
Получаем: 34316 + 75281 + 9 = 109606
·
Курс подготовки к олимпиадам 5-6 класс
· Математические ребусы
· Задачи на четность и нечетность
· Восстановление математических действий
· Задачи на нахождении площади
· Задачи на взвешивание
· Задачи на переливание
· Задачи на рыцарей и лжецов
· Делимость целых чисел и остатки
· Задачи на смеси
·
Задачи на четность и нечетность
Теория > Олимпиада
Четные числа - это те, которые делятся на 2 без остатка (например, 2, 4, 6 и т.п.). Каждое такое число можно записать в виде 2*K, подобрав подходящее целое K (например, 4 = 2 х 2, 6 = 2 х 3, и т.д.).
Нечетные числа - это те, которые при делении на 2 дают в остатке 1 (например, 1, 3, 5 и т.п.). Каждое такое число можно записать в виде 2*K + 1, подобрав подходящее целое K (например, 3 = 2 х 1 + 1, 5 = 2 х 2 + 1, и т.д.).
Сложение и вычитание:
Чётное ± Чётное = Чётное
Чётное ± Нечётное = Нечётное
Нечётное ± Чётное = Нечётное
Нечётное ± Нечётное = Чётное
Умножение:
Чётное × Чётное = Чётное
Чётное × Нечётное = Чётное
Нечётное × Нечётное = Нечётное
Рассмотрим также свойства четных и нечетных чисел, важные для решения задач.
1. Если хотя бы один множитель произведения двух (или нескольких) чисел четен, то и все произведение четно.
2. Если каждый множитель произведения двух (или нескольких) чисел нечетен, то и все произведение нечетно.
3. Сумма любого количества четных чисел — число четное.
4. Сумма четного и нечетного чисел — число нечетное.
5. Сумма любого количества нечетных чисел — число четное, если число слагаемых четно, и нечетное, если число слагаемых нечетно.
В справедливости этих свойств мы убедимся при решении задач.
Задача 1. В магазин "Все для собак и кошек" привезли новые игрушки. Могут ли десять игрушек ценой в 3, 5 или 7 рублей стоить в сумме 53 рубля?
Решение.Сумма четного количества нечетных чисел четна. У нас есть 10 чисел (цена одной игрушки), все они нечетные, значит их сумма должна быть четна. Но 53 - число нечетное, поэтому получить его в виде суммы 10 нечетных чисел нельзя.
Задача 2. Хозяйка купила общую тетрадь объемом 96 листов и пронумеровала все ее страницы по порядку числами от 1 до 192. Щенок Антошка выгрыз из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться 1990?
Решение:На каждом листе сумма номеров страниц нечетна, а сумма 25 нечетных чисел – нечетна.
Задача 3. У Антоши было 5 плиток шоколада . Может ли Антоша, поделив каждую плитку на 9, 15 или 25 кусочков, получить всего 100 кусков шоколада?
Ответ. Нет, т.к. если сложить 5 нечетных чисел, получим нечетный результат. А 100 четно.
Задача 4. На плоскости расположено 9 шестеренок, соединенных по цепочке (первая со второй, вторая с третьей ... 9-я с первой). Могут ли они вращаться одновременно?
Решение: Нет, не могут. Если бы они могли вращаться, то в замкнутой цепочке чередовалось бы два вида шестеренок: вращающиеся по часовой стрелке и против часовой стрелки (для решения задачи не имеет никакого значения, в каком именно направлении вращается первая шестеренка !) Тогда всего должно быть четное число шестеренок, а их 9 штук?! ч.и.т.д. (знак "?!" обозначает получение противоречия)
Задача 5. Четна или нечетна сумма всех натуральных чисел от 1 до 17?
Решение.
Из 17 натуральных чисел 8 четных:
2,4,6,8,10,12,14,16, остальные 9 нечетны. Сумма всех этих четных чисел четна (свойство 3), сумма нечетных нечетна (свойство 5). Тогда сумма всех 17 чисел нечетна как сумма четного и нечетного чисел (свойство 4).
Ответ: нечетна.
Задача 6. В пятиэтажном доме с четырьмя подъездами подсчитали число жителей на каждом этаже и, кроме того, в каждом подъезде. Могут ли все полученные 9 чисел быть нечетными?
Решение.
Обозначим число жителей на этажах соответственно через a1 a2 a3 а4, a5, a число жителей в подъездах соответственно через b1 b2 b3 b4. Тогда общее число жителей дома можно подсчитать двумя способами — по этажам и по подъездам:
а1 + а2 + а3 + а4 + а5 = b1, + b2 + b3 + b4.
Если бы все эти 9 чисел были нечетными, то сумма в левой части записанного равенства была бы нечетной, а сумма в правой части — четной. Следовательно, это невозможно.
Ответ: не могут.
Задача 7. Четно или нечетно произведение (7а + b - 2с + 1)(3а – 5b + 4с + 10), где числа a, b, с — целые?
Решение. Можно перебирать случаи, связанные с четностью или нечетностью чисел а, b и с (8 случаев!), но проще поступить иначе. Сложим множители:
(7а + b - 2с + 1) + (За -5 b + 4с+ 10) = 10а - 4 b + 2с + 11.
Так как полученная сумма нечетна, то один из множителей данного
произведения четен, а другой нечетен. Следовательно, само произведение четно.
Ответ: четно.
Задача 8. Щенок Антошка нацарапал на доске: 1*2*3*4*5*6*7*8*9 = 33, причем вместо каждой звездочки он поставил либо плюс, либо минус. Филя переправил несколько знаков на противоположные и в результате вместо числа 33 получил число 32. Верно ли, что по меньшей мере один из щенков ошибся при подсчете?
Решение.
Если все звездочки заменить на плюсы, то полученная сумма будет нечетной, а, следовательно, и данная сумма — тоже. Поэтому по меньшей мере ошибся Филя.
Ответ: верно.
А теперь основные идеи четности: (!) Все эти идеи можно на олимпиаде вставлять в текст решения задачи.
1. Если в некоторой замкнутой цепочке чередуются объекты двух видов, то их четное число (и каждого вида поровну).
2. Если в некоторой цепочке чередуются объекты двух видов, а начало и конец цепочки разных видов, то в ней четное число объектов, если начало и конец одного вида, то нечетное число. (четное число объектов соответствует нечетному числу переходов между ними и наоборот !)
2'. Если у объекта чередуются два возможных состояния, а исходное и конечное состояния различны, то периодов пребывания объекта в том или ином состоянии - четное число, если исходное и конечное состояния совпадают - то нечетное.
3. Обратно: по четности длины чередующийся цепочке можно узнать, одного или разных видов ее начало и конец.
3'. Обратно: по числу периодов пребывания объекта в одном из двух возможных чередующихся состояний можно узнать, совпадает ли начальное состояние с конечным.
4. Если любые предметы можно разбить на пары, то их количество четно.
5. Если нечетное число предметов почему-то удалось разбить на пары, то какой-то из них будет парой к самому себе, причем такой предмет может быть не один (но их всегда нечетное число).
·
Курс подготовки к олимпиадам 5-6 класс
· Математические ребусы
· Задачи на четность и нечетность
· Восстановление математических действий
· Задачи на нахождении площади
· Задачи на взвешивание
· Задачи на переливание
· Задачи на рыцарей и лжецов
· Делимость целых чисел и остатки
· Задачи на смеси
·
Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 468; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!