Уравнение состояния и передаточная функция
Часто элементы САУ представляются в форме отличной от их описания в виде
дифференциальных уравнений. Каждый разработчик представляет модель своего элемента в удобном для него виде.
Для описания линейных систем самой распространенной формой является описание в виде передаточных функций, позволяющее очень легко решать задачи нахождения общего описания системы по ее составляющим звеньям, а также имеется хорошо отработанный и легкий в применении аппарат проектирования систем с такими описаниями, известный как классический частотный метод проектирования линейных САУ. Платой за удобство является необходимость перехода из области оригиналов в область изображений.
Если уравнение для выходной переменной формализовано представляется в виде:
(1.26)
где х(t) - n-мерный вектор переменных состояния, u(t) - входное воздействие, у(t) - выходная координата. Параметры bс, cс для многомерных систем имеют вид матриц соответствующих размерностей, например Вc(n × m), Сc(р × n).
Применим прео6разование Лапласа к системе уравнений (1.26).
Обозначим такое преобразование функции x(t) как F+1{x(t)} = X(s). Тогда преобразование Лапласа производной этой функции будет иметь вид
В результате преобразования Лапласа обеих частей уравнения получим
Это дает нам возможность представить систему уравнений на комплексной плоскости S в виде
|
|
Здесь U(s), Y(s) -- преобразование Лапласа соответственно для функций u(t), у(t) (в случае многомерных систем преобразование Лапласа векторных функций осуществляется покомпонентно). Принимая х(0) = 0, из приведенных выше выражений получим
Отношение называется передаточной функцией непрерывной системы. Преобразовав обратную матрицу в выражении, можно переписать передаточную функцию в виде:
Выражение представляет собой правильную рациональную дробь, степень полинома знаменателя которой больше либо равна степени полинома числителя. Корни полинома знаменателя передаточной функции:
или, другими словами, собственные (характеристические) числа матрицы Ас, называются полюсами системы, а корни полинома числителя:
нулями системы.
Пример 1.3. Пусть имеется электрическая цепь, состоящая из последовательно соединенных элементов: катушки индуктивности L, конденсатора емкостью С и активного сопротивления R. Падения напряжения на элементах такой электрической цепи u(t) и ток в контуре i(t) подчиняются зависимостям
, , (1.27)
Исходя из зависимостей (1.27) и закона Кирхгофа можно получить уравнение состояния для данной системы. Для этого, приняв за переменные состояния ток, протекающий через катушку индуктивности, и напряжение на обкладках конденсатора, запишем уравнение баланса напряжений в виде:
|
|
(1.28)
где u(t) – напряжение на входе.
Обозначив ток в катушке индуктивности через Х1 (t), а напряжение на обкладках конденсатора через Х2(t), перепишем уравнения (1.28) в следующем виде:
|
|
б)
Рис 1.3. Пример механической системы
В матричной форме:
и уравнение выхода системы:
принимая в качестве выходной координаты и напряжение на обкладках конденсатора.
Передаточная функции системы, будет иметь вид:
Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 483; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!