ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

КОМБИНАТОРИКА

Размещения

Число размещений из n элементов по m:

Число размещений с повторениями из n элементов по m:

Перестановки

Число перестановок из n элементов:

Число перестановок с повторениями из n элементов, которые повторяются a₁, a₂, …, a _n раз:

Сочетания

Число сочетаний из n элементов по m:

Число сочетаний с повторениями из n элементов по m:

Свойства числа сочетаний без повторений:

Формула Стирлинга:

АЛГЕБРА СОБЫТИЙ

Свойства операции сложения событий:

1. (коммутативность)

2. (ассоциативность)

3. (идемпотентность)

Свойства операции умножения событий:

1. (коммутативность)

2. (ассоциативность)

3. (идемпотентность)

Свойства операций сложения и умножения событий:

1. (дистрибутивность умножения

относительно сложения)

2. (дистрибутивность сложения

относительно умножения)

Свойства операции разности событий:

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

Свойства операции симметрической разности событий:

1. (коммутативность)

2. (ассоциативность)

3. (дистрибутивность)

Теоремы де Моргана:

Инволюция:

АКСИОМЫ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЕРОЯТНОСТИ

Аксиомы вероятности:

1. (неотрицательности)

2. (нормированности)

3. (конечной аддитивности)

4а. (счетной аддитивности)

4б. (непрерывности)

Свойства вероятности:

ТЕОРЕМЫ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Теорема сложения вероятностей совместных событий:

Теорема сложения вероятностей несовместных событий:

Теорема умножения вероятностей зависимых событий:

Теорема умножения вероятностей независимых событий:

Формула полной вероятности:

ФормулаБайеса:

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Функция распределения:

для дискретной случайной величины:

для непрерывной случайной величины:

Свойства функции распределения:

Плотность распределения:

Свойства плотности распределения:

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

1. Математическое ожидание:

для дискретной случайной величины:

для непрерывной случайной величины:

2. Мода :

для дискретной случайной величины:

для непрерывной случайной величины:

3. Медиана :

для дискретной случайной величины:

для непрерывной случайной величины:

4. Дисперсия:

для дискретной случайной величины:

для непрерывной случайной величины:

5. Среднее квадратическое отклонение:

Коэффициент вариации:

7. Начальный момент k -го порядка:

для дискретной случайной величины:

для непрерывной случайной величины:

8. Центральный момент k -го порядка:

для дискретной случайной величины:

для непрерывной случайной величины:

9. Коэффициент асимметрии:

10. Коэффициент эксцесса:

Свойства математического ожидания:

5. независимые случайные величины

6. независимые случайные величины

Свойства дисперсии:

5. независимые случайные величины

6. независимые случайные

величины

Взаимосвязь центральных и начальных моментов:

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ОДНОМЕРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

1. Биномиальное распределение

где 0 < p < 1, q = 1 - p, 0 £ m £ n

2. Распределение Пуассона

где l = np, m ³ 0

3. Геометрическое распределение

где 0 < p < 1, q = 1 - p, m ³ 1

4. Равномерное распределение

5. Показательное (экспоненциальное) распределение

6. Нормальное распределение (распределение Муавра-Лапласа-Гаусса)

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ДВУМЕРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Функция распределения двумерной случайной величины:

для дискретной двумерной случайной величины:

Свойства функции распределения:

Плотность распределения двумерной случайной величины:

Свойства плотности распределения:

2. .

Свойства матрицы распределения двумерной дискретной случайной величины:

где

Функции распределения компонент двумерной случайной величины:

Плотности распределения компонент двумерной случайной величины:

Условное распределение вероятностей:

Свойство условных вероятностей:

Теорема умножения функций распределения:

Теорема умножения плотностей распределения:

Теорема о независимости случайных величин:

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

ДВУМЕРНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Начальный момент порядка k , s двумерной случайной величины:

для дискретной двумерной случайной величины:

для непрерывной двумерной случайной величины:

Центральный момент порядка k , s двумерной случайной величины:

для дискретной двумерной случайной величины:

для непрерывной двумерной случайной величины:

Ковариация (корреляционный момент) двумерной случайной величины:

для дискретной двумернойслучайной величины:

для непрерывной двумерной случайной величины:

Свойство ковариации:

Коэффициент корреляции двух случайных величин:

Свойство коэффициента корреляции:

Ковариационная матрица (матрица ковариаций) двумерной случайной величины:

Корреляционная матрицадвумерной случайной величины:

Теорема умножения математических ожиданий:

Теорема сложения дисперсией:

Условные математические ожидания:

для дискретной случайной величины:

для непрерывной случайной величины:

Условные дисперсии:

для дискретной случайной величины:

для непрерывной случайной величины:

Формулы полного математического ожидания:

Уравнения линейной регрессии

на :

ДВУМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Плотность нормального распределения двух случайных величин:

Выражение компонент двумерной случайной величины (X ', Y ') в преобразованной системе координат x ' O ' y ' через компоненты исходной двумерной случайной величины (X , Y) в системе координат х Oy:

где

Каноническая форма нормального закона распределения двумерной случайной величины в системе координат x ' O ' y ':

где

Главные вероятные отклонения:

где

Радиальное вероятное отклонение:

Вероятность попадания случайной точки (Х, Y), подчиненной нормальному закону распределения:

а) в прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания:

б) в эллипс:

где

в) в круг:

где R – радиус круга.

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Неравенство Чебышева:

Неравенство Маркова:

Теорема Чебышева:

где

Теорема Маркова:

где

Теорема Бернулли:

Теорема Пуассона:

Теорема Ляпунова. Функция распределения центрированной и нормированной суммы

независимых случайных величин Х₁, Х₂, …, Х_n, удовлетворяющих условию Линдеберга

где ,

сходится к функции распределения стандартной нормальной случайной величины

Следствие из теоремы Ляпунова (центральная предельная теорема для случая одинаково распределенных слагаемых).

Если независимые случайные величины Х₁, Х₂, …, Х_n имеют одинаковое распределение с математическим ожиданием М(X_i) = a и дисперсией D(X_i) = , то функция распределения их центрированной и нормированной суммы