Т.е. в этом случае события А и С независимы.
Практическая работа № 3 «Теоремы сложения
И умножения вероятностей»
Основные понятия и определения.
Пусть 
- пространство элементарных событий рассматриваемого опыта. Для каждого возможного в этом опыте события А выделим совокупность всех элементарных событий, наступление которых необходимо влечёт наступление А. Эти элементарные события благоприятствуют появлению А. Множество этих элементарных событий обозначим тем же символом А, что и соответствующее событие.
Таким образом, событие А состоит в том, что произошло одно из элементарных событий, входящих в указанное множество А. Мы отождествляем событие А и соответствующее ему множество А элементарных событий.
Событие называется достоверным, если оно наступает в результате появления любого элементарного события. Обозначение: .
Невозможным назовём событие, не наступающее ни при каком элементарном событии. Обозначение: Æ.
Пример. В опыте с кубиком достоверным является событие, что выпадет число, меньшее 7. Невозможным – выпадет отрицательное число.
Суммой (или объединением) двух событий А и В назовём событие А+В (или АÈВ), происходящее тогда и только тогда, когда происходит или А, или В. Сумме событий А и В соответствует объединение множеств А и В. Очевидные соотношения: А+Æ=А, А+ = , А+А=А.
Пример. Событие «выпало чётное» является суммой событий: выпало 2, выпало 4, выпало 6.
|
|
|
Произведением (или пересечением) двух событий А и В назовём событие АВ (или АÇВ), которое происходит тогда и только тогда, когда происходит и А, и В. Произведению событий А и В соответствует пересечение множеств А и В.
Очевидные соотношения: АÆ=Æ, А =А, АА=А.
Пример. «Выпало 5» является пересечением событий: выпало нечётное и выпало больше 3-х.
Два события назовём несовместными, если их одновременное появление в опыте невозможно, т.е. АВ=Æ.
Пример. Выпало чётное число и выпало нечётное число – события несовместные.
Событие 
назовём противоположным к А, если оно происходит тогда и только тогда, когда А не происходит. Очевидные соотношения: А+ = , А 
=Æ, 
=А.
Пример. Выпало чётное число и выпало нечётное число – события противоположные.
Разностью событий А и В назовём событие А\В, происходящее тогда и только тогда, когда происходит А, но не происходит В. Очевидные соотношения: = \А, А\В=А 
.
Операции сложения и умножения обладают следующими свойствами: А+В=В+А, АВ=ВА, А(В+С)=АВ+АС, А(ВС)=(АВ)С.
Пример. Производится два выстрела по цели. Пусть событие А – попадание в цель при первом выстреле и В – при втором, тогда и - промах соответственно при первом и втором выстрелах. Обозначим поражение цели событием С и примем, что для этого достаточно хотя бы одного попадания. Требуется выразить С через А и В.
|
|
|
Решение. Цель будет поражена в следующих случаях: попадание при первом и промах при втором; промах при первом и попадание при втором; попадание при первом и втором выстрелах. Перечисленные варианты можно соответственно записать: А , В и АВ. Интересующее нас событие заключается в наступлении или первого, или второго, или третьего вариантов (хотя бы одного), то есть
С= А + В+АВ.
С другой стороны, событие 
, противоположное С, есть промах при двух выстрелах, то есть 
, отсюда искомое событие С можно записать в виде С= 
.
Вероятность противоположного события определяется по формуле: р( )=1- р(А).
Для несовместных событий вероятность суммы двух событий вычисляется по формуле:
р(А+В)=р(А)+р(В).
Пример. Завод производит 85% продукции первого сорта и 10% - второго. Остальные изделия считаются браком. Какова вероятность, что взяв наудачу изделие, мы получим брак?
Решение. Р=1-(0,85+0,1)=0,05.
Вероятность суммы двух любых случайных событий равна р(А+В)=р(А)+р(В)-р(АВ).
Пример. Из 20 студентов 5 человек сдали на двойку экзамен по истории, 4 – по английскому языку, причём 3 студента получили двойки по обоим предметам. Каков процент студентов в группе, не имеющих двоек по этим предметам?
|
|
|
Решение. Р = 1 - (5/20 + 4/20 - 3/20) = 0,7 (70%)
Условной вероятностью события В при условии, что событие А произошло, называется
Пример. В урне лежит N шаров, из них n белых. Из неё достают шар и, не кладя его обратно, достают ещё один. Чему равна вероятность того, что оба шара белые?
Решение. Обозначим А – событие, состоящее в том, что первым вынули белый шар, через В событие, состоящее в том, что первым вынули чёрный шар, а через С событие, состоящее в том, что вторым вынули белый шар; тогда
; 
; 
; 
; 
Пример. Из 30 экзаменационных билетов студент подготовил только 25. Если он отказывается отвечать по первому взятому билету (которого он не знает), то ему разрешается взять второй. Определить вероятность того, что второй билет окажется счастливым.
Решение. Пусть событие А заключается в том, что первый вытащенный билет оказался для студента «плохим», а В – второй – «хорошим». Поскольку после наступления события А один из «плохих» уже извлечён, то остаётся всего 29 билетов, из которых 25 студент знает. Отсюда искомая вероятность равна Р(В/А)=25/29.
|
|
|
Вероятность произведения:
p(AB)=p(A)*p(B|A)=p(B)*p(A|B).
Пример. По условиям предыдущего примера найти вероятность успешной сдачи экзамена, если для этого студент должен ответить на первый билет, или, не ответив на первый, обязательно ответить на второй.
Решение. Пусть события А и В заключаются в том, что соответственно первый и второй билеты «хорошие». Тогда - появление «плохого» билета в первый раз. Экзамен будет сдан, если произойдёт событие А, или одновременно и В. То есть искомое событие С – успешная сдача экзамена выражается следующим образом: С=А+ В. Отсюда
р(С)=р(А+ В)=р(А)+р( В)=р(А)+р( )р(В/ )=25/30+5/30*25/29=0,977
или
р(С)=1 - р( )=1 - р( * 
)=1 - р( )* р( / )=1 -5/30*4/29=0,977
Случайные события А и В назовём независимыми, если
р(АВ)=р(А)*р(В).
Пример. Рассмотрим предыдущий пример с урной, содержащей N шаров, из которых n белых, но изменим опыт: вынув шар, мы кладём его обратно и только затем вынимаем следующий. А – событие, состоящее в том, что первым вынули белый шар, В – событие, состоящее в том, что первым вынули чёрный шар, а С – событие, состоящее в том, что вторым вынули белый шар; тогда
; ; 
; 
; 
;
т.е. в этом случае события А и С независимы.
Пусть события 
удовлетворяют условиям 
Æ, если 
, и 
. Такую совокупность называют полной группой событий.
Пусть интересующее нас событие А может наступить после реализации одного из Hi и известны вероятности p ( Hi ), p ( A | Hi ). В этом случае справедлива формула полной вероятности 
.
Пример 1. Литьё в болванках поступает из 2-х цехов: 70% из первого и 30% из второго. При этом продукция первого цеха имеет 10% брака, а второго 20%. Найти вероятность того, что одна взятая наугад болванка имеет дефект.
Решение. p ( H 1 )=0,7; p ( H 2 )=0,3; p ( A | H 1 )=0,1; p ( A | H 2 )=0,2; Р=0,7*0,1+0,3*0,2=0,13 (13% болванок в цехе дефектны).
Пример 2. В урне лежит N шаров, из которых n белых. Достаём из неё (без возвращения) два шара. Какова вероятность, что второй шар белый?
Решение. H 1 – первый шар белый; р ( H 1 )= n / N ;
H 2 – первый шар чёрный; p ( H 2 )=( N - n )/ N ;
A – второй шар чёрный; p ( A | H 1 )=( n -1)/( N -1); p ( A | H 2 )= n /( N -1)
Р (A)=p(H1)*p(A|H1)+p(H2)*p(A|H2)= 
Формула Байеса.
Предположим, что выполняются условия предыдущего пункта и дополнительно известно, что событие А произошло. Найдём вероятность того, что при этом была реализована гипотеза Hk . По определению условной вероятности
Полученное соотношение - это формула Байеса. Она позволяет по известным (до проведения опыта) p ( Hi ) и условным вероятностям p ( A | Hi ) определить условную вероятность p ( Hi/А), которую называют апостериорной (то есть полученной при условии, что в результате опыта событие А уже произошло).
Пример 3. 30% пациентов, поступивших в больницу, принадлежат первой социальной группе, 20% - второй и 50% - третьей. Вероятность заболевания туберкулёзом для представителя каждой социальной группы соответственно равна 0,02, 0,03 и 0,01. Проведённые анализы для случайно выбранного пациента показали наличие туберкулёза. Найти вероятность того, что это представитель третьей группы.
Решение. Пусть H 1 , H 2 , H 3 – гипотезы, заключающиеся в том, что пациент принадлежит соответственно первой, второй и третьей группам. Очевидно, что они образуют полную группу событий, причём p ( H 1 )=0,3; p ( H 2 )=0,2; p ( H 3 )=0,5. По условию событие А, обнаружение туберкулёза у больного, произошло, причём условные вероятности по данным условия равны p (А/ H 1 )=0,02; p (А/ H 2 )=0,03; и p (А/ H 3 )=0,01. Апостериорную вероятность p ( H 3 /А) вычисляем по формуле Байеса:
Указания к выполнению практической работы: для решения задач использовать данные таблицы. Данные своей задачи взять из таблицы по номеру, соответствующему порядковому номеру в учебном журнале. Работу оформить в отдельных тетрадях для практических работ. При необходимости результаты округлить до тысячной.
Задания:
1. В двух ящиках находятся детали: в первом N из них n стандартных, во втором – Х, из них s – бракованных. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.
2. Вероятность попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны р1 и р2. Делается одновременный залп из обоих орудий. Найти вероятность: а) попадания в цель только из одного орудия; б) попадания в цель хотя бы одним из орудий.
3. В тире имеется 5 различных по точности боя винтовок. Вероятность попадания в мишень для данного стрелка соответственно равна 0.5, 0.55, 0.7, р1 и р2. а) Чему равна вероятность попадания в мишень, если стрелок делает один выстрел из случайно выбранной винтовки? б) Попадание произошло, чему равна вероятность того, что была выбрана пятая винтовка?
| Вариант | N | n | X | s | p1 | p2 |
| 1 | 30 | 25 | 41 | 3 | 0.6 | 0.75 |
| 2 | 31 | 26 | 42 | 4 | 0.65 | 0.8 |
| 3 | 32 | 27 | 43 | 5 | 0.7 | 0.85 |
| 4 | 33 | 26 | 44 | 6 | 0.75 | 0.9 |
| 5 | 34 | 25 | 43 | 5 | 0.8 | 0.95 |
| 6 | 35 | 24 | 42 | 4 | 0.85 | 0.6 |
| 7 | 34 | 23 | 41 | 3 | 0.9 | 0.65 |
| 8 | 33 | 24 | 40 | 2 | 0.95 | 0.7 |
| 9 | 32 | 25 | 41 | 3 | 0.6 | 0.75 |
| 10 | 31 | 26 | 42 | 5 | 0.65 | 0.8 |
Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 111; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!