Практический расчет сжатых стержней
Такформула Эйлера имеет ограниченияв ее применении, то в инженерных расчетах чаще всего применяется практический расчет сжатых стержней.
Так называется расчет сжатых стержней не по формуле Эйлера, а расчет по коэффициентам снижения расчетного сопротивления.
Расчет на прочность требует, чтобы расчетные напряжения не превышали расчетного сопротивления R с учетом коэффициента условия работы γc, т.е.
. (11.23)
Условие устойчивости сжатого стержня требует, чтобы расчетное напряжение было меньше критического σк p с учетом коэффициента запаса на устойчивость ny, т. е.
. (11.24)
Рассмотрим отношения правых частей этих зависимостей, обозначенных через коэффициент φ.
Коэффициент φ, определяемый в зависимости от гибкости стержня λ, называется коэффициентом продольного изгиба или коэффициентом снижения расчетных напряжений при продольном изгибе.
или
и подставим в условие устойчивости (11.23)
. (11.25)
Отсюда получаем два вида расчета на устойчивость.
В первом расчете определяется допускаемая нагрузка на сжатую стойку.
Допускаемая сжимающая сила равна произведению площади поперечного сечения на расчетное сопротивление с учетом коэффициента снижении расчетного сопротивления.
. (11.26)
|
|
При этом учитывается вся площадь поперечного сечения без учета отверстий или выточек. Такие ослабления влияют на действительные напряжения и учитываются в расчете на прочность.
Так как критическое напряжение всегда меньше расчетного сопротивления R, то коэффициент φ меньше единицы и называется коэффициентом уменьшения расчетного сопротивления при расчете на устойчивость (или коэффициентом продольного изгиба). Этот коэффициент можно вычислить, если имеется диаграмма критических напряжений и задан коэффициент запаса устойчивости. Однако, этого делать не следует, так как существуют таблицы для подбора коэффициента φ по гибкости λ , см. табл. 11.1.
Таблица 11.1
λ | Ст. 3 | Дерево | Чугун | λ | Ст. 3 | Дерево |
0 | 1,00 | 1,00 | 1,00 | 110 | 0,52 | 0,25 |
10 | 0,99 | 0,99 | 0,97 | 120 | 0,45 | 0,22 |
20 | 0,96 | 0,97 | 0,91 | 130 | 0,40 | 0,18 |
30 | 0,94 | 0,93 | 0,81 | 140 | 0,36 | 0,16 |
40 | 0,92 | 0,87 | 0,69 | 150 | 0,32 | 0,14 |
50 | 0,89 | 0,80 | 0,57 | 160 | 0,29 | |
60 | 0,86 | 0,71 | 0,44 | 170 | 0,26 | |
70 | 0,81 | 0,60 | 0,34 | 180 | 0,23 | |
80 | 0,75 | 0,48 | 0,26 | 190 | 0,21 | |
90 | 0,69 | 0,38 | 200 | 0,19 | ||
100 | 0,60 | 0,31 | 0,16 |
При отсутствии таблиц приближенное значение этого коэффициента можно вычислить по следующим формулам:
|
|
для мягкой стали
, , (11.27)
для дерева
, , (11.28)
для чугуна
, . (11.29)
Обратим внимание на то, что расчет по коэффициентам φ можно выполнять при любых гибкостей, но в таблице 11.1 для каждого материала есть ограничения. Это означает, что стержни с гибкостями выше ограниченных в таблице применять не рекомендуется в виде малых напряжений, которые можно допустить при работе на устойчивость.
Второй вид расчета на устойчивость – подбор поперечного сечения выполняется по формуле (11.30).
Площадь поперечного сечения сжатой стойки определяется подбором коэффициента снижения расчетного сопротивления, при котором расчетное напряжение не превысит расчетного сопротивления.
. (11.30)
Поскольку коэффициент φ выбирается из таблиц по гибкости λ, зависящей от радиуса инерции , а, следовательно, и от площади, то расчет по (11.29) производится подбором. В первой попытке задают любое значение φ (например φ1=0,5). По этому коэффициенту вычисляют требуемую площадь поперечного сечения F1, радиус инерции i1 и действительную гибкость для полученного сечения λ1. По этой гибкости из таблиц находят соответствующий коэффициент φ1,Т. Если окажется, что заданный коэффициент не совпадет с полученным φ1,Т, то расчет повторяется до тех пор, когда заданный и полученный в расчете коэффициенты будут примерно одинаковыми.
|
|
Пример 11.1.Жестко защемленная стойка из двутавра № 22 (рис. 11.6) длиною l=5 м загружена силой Р. Определить допускаемую силу и коэффициент запаса устойчивости, если расчетное сопротивление R=210 МПа, а коэффициент условия работы γc=0,9.
Решение. Выписываем их таблиц ГОСТа площадь поперечного сечения F=30,6 см2и меньший радиус инерции (относительно оси стенки двутавра) iy=2,27 см.
Определяем максимальную гибкость стойки
. По этой гибкости из табл. 11.1 находим коэффициент продольного изгиба φ=0,52.
По формуле 11.5 с учетом коэффициента условия работы и расчетного сопротивления находим допускаемую силу =30,6·10-4·210·106·0,9=
=300,7·103 Н=300,7 кН.
Так как гибкость , то критическую силу можно найти по формуле Эйлера 11.17.
Па=495,8 МПа.
Коэффициент запаса устойчивости .
Пример 11.2. Для стойки длиною l=3 м, две проекции которой показаны на рис. 11.6, под нагрузку Р =500 кН подобрать двутавр.
|
|
Решение. По формуле 11.29, приняв φ=0,5, вычисляем площадь поперечного сечения двутавра
м2 =52,9 см2.
Из таблиц ГОСТа подбираем двутавр примерно с такой площадью: №33, F=53,8 см2..
Его радиусы инерции iy=2,79 см, ix=13,5 см.
Вычисляем гибкости стойки относительно двух положений двутавра, соответственно способу закрепления на опорах:
По большей гибкости 75,3 из табл. 11.1 находим соответствующий коэффициент продольного изгиба φ=0,78, который оказался больше, принятого в первой попытке расчета.
Во второй попытке принимаем примерно среднее значение коэффициента и расчет повторяем:
м2 =40,7 см2.
Этой площади соответствует двутавр №27 с минимальным радиусом инерции iy=2,54 см. Гибкости соответствует коэффициент φ=0,734.
В третьей попытке принимаем φ=0,7,
м2 =37,8 см2.
чему соответствует двутавр №24, а: F=37,5 см2, iy=2,63 см, λy=79,8, φ=0,75.
Проверяем расчетное напряжение
Па=197,5 МПа.
В виду недонапряжения на 5,9%, примем предшествующий двутавр №24: F=34,8 см2, iy=2,37 см, λy=88,6, φ=0,745, σрасч=214,3 МПа.
Так как гибкость λy=88,6<100, то критическое напряжение вычисляем по формуле 11.20
МПа.
Так как действительное напряжение Па, т.е. 143,7 МПа, то коэффициент запаса устойчивости
Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 283; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!