Деформированное состояние тела
Выделим в теле прямоугольный параллелепипед. После нагружения он трансформируется в косоугольный, т.е. появляются линейные и угловые деформации. Деформированное состояние характеризуется тензором деформаций. Этот тензор будет симметричным, т.к. gху = gух (угловые деформации одного и того же прямого угла).
Сравним основные квадратичные формы для нормального напряжения и линейной деформации:
sn = sx×l2 + sy×m2 +sz×n2 + 2tyx×m×l + 2tzx×n×l + 2tzy×n×m,
.
Как видно, формулы полностью аналогичны. Коэффициенты при направляющих косинусах являются составляющими тензора деформаций:
(74)
Также существуют инварианты деформированного состояния, которые определяются аналогично инвариантам напряженного состояния:
q1 = eх + eу + ez,
q2 = eх×eу + eу×ez + ez×eх - , (75)
q3 = Тe.
Для определения величины главных деформаций существует основное характеристическое уравнение деформированного состояния:
e3 - q1×e2 + q2×e - q3 = 0
Корни данного уравнения нумеруются в порядке убывания: e1 ³ e2 ³ e3. Главные деформации – это линейные деформации в направлении, перпендикулярном главным площадкам деформации, а главными площадками деформации являются такие, в которых угловые деформации равны нулю. Главные площадки расположены по трем взаимно перпендикулярным осям, которые называются главными осями деформированного состояния.
|
|
Касательные напряжения при кручении
Задачу по определению касательного напряжения при кручении будем решать с использованием двух гипотез:
– гипотеза плоских сечений;
–радиус, проведенный в сечении до деформации, не искривляется в процессе деформации.
Рассмотрим стержень, нагруженный крутящим моментом. На некотором расстоянии z от начала стержня вырежем бесконечно малый элемент dz (рис. 34).
Рис. 34
Рассмотрим статическую сторону задачи. Для этого найдем связь между крутящим моментом в сечении (рис. 35) и касательным напряжением. Любой момент - это произведение силы на плечо. В данном случае для элементарного крутящего момента сила – это произведение касательного напряжения на площадь, на которой оно действует, а плечо есть радиус-вектор от центра тяжести сечения до рассматриваемой точки.
Рис. 35
Мк = . (76)
Теперь рассмотрим вырезанный элемент dz (рис. 36) с геометрической стороны. В процессе нагружения правое сечение повернется по отношению к левому на некоторый угол dφ. Отрезок АВ после деформации занял положение АВ1.
|
|
Рис. 36
Найдем длину дуги ВВ1 из треугольников АВВ1 и ОВВ1:
dz×g = r×dφ,
. (77)
С физической точки зрения при сдвиге справедлив закон Гука.
t = g×G. (78)
Подставим угловую деформацию из геометрического соотношения (77) в закон Гука (78):
t = ×G. (79)
Полученное выражение подставим в формулу (76):
Мк = ,
= .
сделав подстановку в выражение (77), получим:
,
полученное выражение подставляем в закон Гука (78):
t = ×G.
Окончательно получаем формулу для расчета касательных напряжений в сечении при кручении:
t = . (80)
|
|
Таким образом, касательные напряжения при кручении круглого стержня распределяются по линейному закону и достигают своего максимума на периферии сечения.
Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 246; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!