Алгебраическое и функциональное равенство многочленов.
Алгебраическое определение равенства: (1)
называются равными, если
На многочлен можно смотреть как на функцию: (2)
равны (в функциональном смысле), если значение .
Теорема:
Алгебраическое и функциональное определения равенства эквивалентны.
Доказательство:
1) Пусть многочлены равны по (1) определению.
Дано:
а значение многочлена определено однозначно. Значит , т.к. коэффициенты равны.
2) Пусть равны по (2) определению.
Дано:
:
является корнем .
имеет бесконечное множество корней => – нулевой многочлен
Два множества равны ó их соответствующие коэффициенты равны
.
Приводимые и неприводимые многочлены над P .
В кольце целых чисел особую роль играют простые числа.
В теории многочленов аналогичную роль играют неприводимые многочлены.
Определение 1: p(x) над P называется неприводимым, если он имеет своими делителями делители вида c и cp(x) и других делителей не имеет.
Определение 2: над P называется приводимым, если кроме делителей c и cf(x) этот многочлен имеет другие делители , .
R: ,
не приводим.
C: кроме
приводимый.
Один и тот же многочлен над одним полем может оказаться неприводим, а над другим приводим.
ст. называется приводимым над P, если существуют многочлены над P, что имеет место равенство
|
|
ст. называется неприводимым над P, если в любом его представлении вида
(1)
один из многочленов будет иметь 0 степень, другой n.
Замечание: Многочлены 0-ой степени играют роль 1. То есть не являются ни приводимыми, ни неприводимыми. Всякий другой многочлен будет либо приводим, либо неприводим.
Свойства:
1. Многочлены 1-ой степени не приводимы над любым числовым полем.
Доказательство:
Дано:
Пусть
1 m k
1=m+k ó m=0, k=1 m=1, k=0
m≥0, k≥0
0-ой степени (число)
- 1-ой степени dx+l
ð неприводим.
2. Если неприводим над P, то тоже неприводим над этим полем.
Доказательство:
по свойству делимости имеют одинаковый делитель, а т.к. имеет делитель , те же.
Это свойство позволяет при рассмотрении многочленов приводимых и неприводимых в разложении многочленов на неприводимые множители брать со старшим коэффициентом 1.
3. Если неприводим над P, а любой , то возможны 2 случая:
1) ;
2)
Доказательство:
Рассмотрим над P.
|
|
НОД
, - непр. и .
- либо число, либо
.
4. Произведение двух или нескольких многочленов ó делится на неприводимый многочлен, когда хотя бы 1 из них этот многочлен.
ó .
Доказательство:
1. Достаточность следует из свойств делимости.
2. Необходимость для случая 2-х сомножителей:
Дано:
По предыдущей теореме .
Или по теореме о взаимно простых многочленах, то .
Для k-1 сомножителя верна.
Для k сомножителей.
Понятие приводимости многочленов является относительным. Это значит, что один и то же многочлен над одним полем может быть приводим, а над другим нет.
Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 1319; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!