ОТКУДА ВЗЯЛАСЬ ТЕМНАЯ МАТЕРИЯ ? 14 страница
От геометрической прогрессии (2.26) можно перейти к золотому ряду простым сокращением каждого члена ряда qп на соответствующее частное Un:
q1∕U1; q2∕U2; q3∕U3; q4∕U4; …; qп∕Un. (2.27)
Геометрическая прогрессия (2.27) является золотой прогрессией, а в числовой записи – греческим или русским рядом. Отсюда можно заключить, что гармонические числовые ряды всех геометрических прогрессий опосредованно включают в себя числа русского или греческого ряда. Данные пропорции обуславливают структуру алгебраических квадратных уравнений, и построение русских объемных матриц [45].
Отметим также, что любое число имеет свой взаимообратный аналог, а, следовательно, включено во множество геометрических прогрессий. Для нахождения отношения к золотому числу достаточно возвести его в квадрат и определить пропорциональность золотым числам Ф и Ψ.
Вернемся к уравнению (2.3) и рассмотрим его связь с золотыми числами. Это вариант обыкновенного алгебраического квадратного уравнения с одним неизвестным. Общий вид этого уравнения:
a х2 + b х + c = 0. (2.28)
Как известно, в результате его решения получаем два корня:
x 1,2 = [–b ± √(b 2 – 4ac)] ⁄2a (2.29)
Однако общее уравнение (2.28) не используется для получения золотых чисел, поскольку подкоренное уравнение может оказаться мнимым. Его искусственно упрощают, положив в (2.28) а = 1, b = –1 и с = –1, и уравнение приобретает вид (2.3), а решение (2.29) оказывается следующим:
|
|
|
х1,2 = [1 ± √(1 + 4)] ⁄2 = (1 ± √5) ⁄2. (2.30)
При извлечении корня из 5 находим очень интересное иррациональное число:
√5 = 2,236067978… . (2.31)
Оно хорошо изучено и часто используетсядля объяснения результата решения золотых пропорций. Как известно, для получения золотого числа Ф к нему прибавляется 1 и образовавшаяся сумма делится на 2. Т.е. по (2.31) вычисляется величина х1 = Ф:
Ф = х1 = (2,236067978 + 1)⁄2 = 1,618033989… .
Посмотрим, какое число получится, если из (2.31) вычесть Ф:
2,236067978 – 1,618033989 = 0,618033989.
Т.е. число 2,236067978… составлено из двух чисел: из золотого числа Ф и взаимообратного ему золотого числа 1⁄Ф. Обозначим число (2.31) через русскую букву П:
П = (1⁄Ф + Ф), (2.32)
Назовем операцию сложения (2.32) способом взаимообратного сложения. Именно этот способ использован выше для получения ряда Люка. Отметим, что число П проявляет себя во многих математических операциях, и возведем обе части (2.32) в квадрат:
П2 = 5 = (1⁄Ф + Ф)2 = 0,382 + 2(0,618·1,618) + 2,618. (2.33)
Обратим внимание на произведение взаимообратных чисел 2(0,618∙1,618). Из него следует, что результатами решения квадратных уравнений типа (2.33), первые и последние члены которых взаимообратны, будут иррациональные числа, определяемые величиной b. Сложив первое и третье в (2.33), имеем в натуральных числах:
|
|
|
П2 = 2 + 3 = 5. (2.34)
Последовательность 2, 3, 5, фрагмент ряда Фибоначчи и поэтому и в виде П, и в виде отдельных чисел 2, 3, 5 встречается во многих как золотых, так и просто гармонических отношениях. Формулу (2.32) можно превратить в квадратное уравнение. Перенесем ее члены в одну сторону, убрав знаменатель, заменим Ф на х и приравняв П = 0, получим квадратное уравнение с одним неизвестным:
х2 – 2,236х + 1 = 0. (2.35)
В уравнении (2.35) очень важно появление знака плюс перед свободным членом. Его решение:
х12 = [2,236±√(5–4∙1∙1)] ∕2; х1 = 1,618, х2 = –0,618. (2.36)
И, хотя результат решения (2.36) аналогичен (2.30), следует отметить, что в подкоренном выражении появляется знак минус, а свободный член равен П. Эти знаки в (2.35) и (2.36) не встречаются на сегодня в квадратных уравнениях теории золотых пропорций. К тому же уравнение (2,35) включает иррациональное число, которое и обусловливает получение золотых чисел иначе, чем по (2.3).
|
|
|
Отметим, что подкоренное выражение в (2.30) получаемое в результате решения (2.3) записывается как составленное из двух чисел √(1 + 4). Однако, оно, как следует из (2.36), составлено из четырех чисел. Это тоже важно, поскольку за отбрасываемыми единицами могут скрываться взаимообратные числа, и произведение этих чисел в подкоренном выражении будет аналогом произведения единиц. Учитывая это, можно предположить, что подкоренное выражение в решениях обыкновенного квадратного уравнения представляет собой разность или сумму квадратов двух чисел b 2 ± n 2:
х1,2 = [–b ± √(b 2 ± n 2)] ⁄2а. (2.37)
А это и есть проявление скрытой сущности обыкновенного квадратного уравнения, в котором вместо 4ас восстановлен n 2 = √4ас. Не останавливаясь на анализе (2.37), отметим, что для получения, в результате решения, взаимообратных золотых чисел или чисел с мантиссами в исходном уравнении (2.3) должно быть:
• либо отдельные, либо все а, b , и с квадратного уравнения, золотые числа (ритмика числовых рядов);
• либо а = 1, –b, — любое число, а с = –1. В частности результат (1 ± √5)⁄2 получается из (2.3) и при b = 2, а n = 1, и при b = 1, а n = 2.;
|
|
|
• либо произведение а на с равняется единице: а ∙ с = 1 (т.е. а и с взаимообратные числа).
Отметим, что числовые величины с мантиссами получаются в (2.370 при n = 1,2,3, …, при этом, золотые числа получаются в том случае, когда сумма (b 2 + n 2) разлагается на квадратное число и П2.Например:√(1 + 4) = √1·5. Это произведение и обусловливает появление взаимообратных золотых чисел:
х12 = [4 ± √(16 + 4)] ∕2 = (4 ± √4∙5) ∕2,
х1 = 4,236; х2 = − 0,236.
Все остальные числа, полученные из решения уравнения (2.3), отображая ту или иную числовую гармонию, прямого отношения к золотому множеству не имеют, поскольку не соответствуют критериям рекуррентности или соотношению квадрата числа с золотыми числами.
Приведем пример получения чисел с мантиссами при использовании в (2.32) взаимообратных золотых чисел
П = (0,618х + 1,618)2.
Варьируя числами при П = 0, можно получить два варианта уравнений:
0,382х2 + 2х + 2,618 = 0, (2.38)
2,618х2 + 2х + 0,382 = 0,
и решить их.
х = [–2 ± √(4 – 4∙2,618∙0,382)]∕2∙2,618 = – 0,382.
х1 = [–2 ± √(4 – 4∙0,382∙2,618)]∕2∙0,382 = – 2,618.
Итак, имея в квадратном уравнении взаимообратные золотые числа и 2 при неизвестном, в результате получаем не два решения, а одно со знаком минус, – золотое число, то, которое в уравнении было свободным членом.
Золото русских матриц
Как гласит легенда, итальянский математик Леонардо Пизано (по прозвищу Фибоначчи) изучая размножение кроликов, с удивлением обнаружил, что оно происходит не хаотичным образом. Оно создает удивительный порядок чисел, последовательное сложение которых (начиная с двух наименьших чисел натурального ряда 1 и 1, или 1 и 2) выводит образовавшуюся бесконечную последовательность на такое отношение двух соседних чисел, которое стремится к золотому числу Ф и тем ближе, чем это отношение дальше от начала ряда [47].Т.е. соответствует рекуррентному соотношению. Приведем начало ряда 1:
Ряд 1.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | … | 18 | 19 | 20 | 21 |
| 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | … | 4181 | 6765 | 10946 | 17711 |
Теперь посмотрим, что происходит с любыми двумя случайными числами «построенными» в ряд, аналогичный ряду Фибоначчи, например, с числом 7 и числом 16 (ряд 2):
Ряд 2.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | … |
| 7 | 16 | 23 | 39 | 62 | 101 | 163 | 264 | 427 | 691 | 1118 | … |
| … | 19 | 20 | 21 | 22 | … | ||||||
| … | 52523 | 84984 | 137507 | 222491 | … |
Проверим соответствие последовательности чисел ряда 2 правилу пропорционирования Фибоначчи. Делим, например, десятое число на одиннадцатое, а потом одиннадцатое на десятое:
691 :1118 = 0,6180679,
1118 : 691 = 1,6179450,
и двадцать первое на двадцатое:
137507 : 84984 = 1,618033983,
получаем результаты полностью аналогичные тем, которые следуют из последовательности рядов Фибоначчи и Люка.
А это, как уже упоминалось, означает, что ряды типа Фибоначчи и Люка появляются не только при использовании первых трех чисел натурального ряда, но и при последовательном сложении двух любых арифметических величин.
Отметим основные моменты свойств рядов Фибоначчи:
• Получение золотого числа Ф методом Фибоначчи – Люка не ограничивается сложением двух минимальных чисел 1 и 2, а распространяется на любую пару вещественных чисел.
• Золотое число Ф с точностью до четвертого знака включительно во всех случаях получается из соотношения двух соседних чисел ряда уже на одиннадцатой операции сложения. Количество операций сложения, необходимых для приближения к золотому числу, не определяется величиной слагаемых чисел.
• Последовательность приближения к Ф идет как сверху вниз (результат первого деления превышает Ф), так и снизу вверх (результат первого деления меньше Ф), но, никогда не становится равным Ф, приближаясь к нему на бесконечно малую величину.
• Если известно лишь одно слагаемое число ряда, то имеется возможность получения всего потребного для операций ряда и тем точнее, чем далее оно находится от начала ряда. Числа «помнят» о своем месте в ряду.
• Важнейшим обстоятельством, способствующем пониманию физического смысла золотой пропорции, становится наличие двух первых слагаемых. Можно полагать, что эти числа математически отображают качественные и количественные взаимосвязи реальных тел природы.
Продолжим рассмотрение ряда Фибоначчи, например, с восемнадцатого числа и попробуем понять, к чему стремятся получаемые члены ряда. Заполним ряд 3-й.
Ряд 3.
| 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |
| 4181 | 6765 | 10946 | 17711 | 28657 | 46368 | 75025 | 121393 | 196418 | 317811 | 514429 |
Разделим все члены третьего ряда на какое-то число из них, например, на двадцать пятое – 121393 и полученный результат запишем в четвертый ряд.
Ряд 4.
| 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |
| 0,034 | 0,0557 | 0,0902 | 0,146 | 0,236 | 0,382 | 0,61803 | 1,00 | 1,61803 | 2,6180 | 4,2360 |
Получается, что члены ряда Фибоначчи, начиная примерно с 12 слагаемого, образуют собой геометрическую прогрессию, основанием которой является золотое число Ф, умноженное, как уже говорилось, на некоторый коэффициент, которым может оказаться любое число (слагаемое) ряда (например, двадцать первое 17711 или двадцать пятое 121393 в ряду 3 и т.д.). В результате деления членов ряда 3 на 121393 образовался золотой ряд чисел аналогичный ряду (2.15).
Таким образом, ряды типа Фибоначчи, имея началом как бы «случайные» числовые величины на одиннадцатой операции сложения начинают «изменять» своему арифметическому качеству, переводя его из арифметического в качество геометрическое. Таким образом:
• Каждый ряд Фибоначчи, последовательно возрастая, меняет свое качество и «вырождается» в геометрическую прогрессию.
• Все ряды геометрической прогрессии неявно включают золотое число Ф и бесконечны и в сторону возрастания, и в сторону убывания.
Несколько позже другой ученый, французский математик Б. Паскаль, изучая процесс деления клетки, обнаружил, что он происходит путем раздвоения материнской клетки, и каждая образовавшаяся последующая клетка тоже делится пополам, как бы структурируя геометрическую прогрессию. В симметричном же построении цифр столбцом друг под другом, проявляется что-то подобное треугольнику: 1; 2; 4; 8; 16; … и т.д. Процесс получения геометрической прогрессии со знаменателем два был назван «треугольником Паскаля».
Интересно то, что аналогичным образом получаются из полных целых меньшие элементы древнерусских соизмерительных инструментов – саженей. Сажень, полсажени, четверть сажени – локоть, восьмая часть – пядь, шестнадцатая часть – пясть, тридцать вторая – вершок.
Архитектор А.А. Пилецкий [44], использовал систему удвоения, раздвоения русских саженей для построения нескольких взаимосвязанных рядов Фибоначчи. Он сдвоил ряд последовательно слагаемых чисел, изменив его качество, и получил уже не один ряд, а как минимум два взаимосвязанных ряда чисел, которые образовали таблицу. И, по-видимому, впервые, создал более развитый вариант двойного пропорционирования, образовав единую систему чисел из нескольких рядов Фибоначчи. Поэтому ряды типа Фибоначчи, связанные в систему, следует назвать рядами Пилецкого. Построим таблицу 3 по его методу.
Таблица 3.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | … |
| … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … |
| 8 | 16 | 24 | 40 | 64 | 104 | 168 | 272 | 440 | 712 | … |
| 4 | 8 | 12 | 20 | 32 | 52 | 84 | 136 | 220 | 356 | … |
| 2 | 4 | 6 | 10 | 16 | 26 | 42 | 68 | 110 | 178 | … |
| 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | … |
| 0,5 | 1 | 1,5 | 2,5 | 4 | 6,5 | 10,5 | 17 | 27,5 | 22,5 | … |
| 0,25 | 0,5 | 0,75 | 1,25 | 2 | 3,25 | 5,25 | 8,5 | 13,25 | 22,25 | … |
| … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … |
В этой таблице третий снизу ряд чисел – Фибоначчи (отмечен полужирным шрифтом). Все члены числового поля получаются по рядам последовательным сложением двух соседних чисел, т.е. методом Фибоначчи, а столбцы – удвоением каждого нижнего числа, т.е. методом Паскаля: 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; ... или, 2n, где 2 является знаменателем, а n = 1; 2; 3; …; → ∞.
«Вырежем» часть поля таблицы 1, начиная, например с двадцать первого числа и рассмотрим, какими коэффициентами (числами золотых пропорций) и как связываются числа этого поля (таблица 4). Для чего разделим все члены числового поля таблицы 4 на любое число, например, на 46368 (в таблице 4 выделено полужирным шрифтом) и, заполним аналогичную таблице 4 сетку получившимися числами с точностью до пятого знака.
Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 355; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!