Медленно изменяющиеся течения
Общие свойства и уравнения движения
В медленно изменяющихся течениях упругие свойства жидкости проявляются очень слабо. Это обусловлено тем, что скорость распространения упругих возмущений в жидкости очень велика ~ 103 м/с. Если длина гидролинии системы не очень большая, например, ~ 10 м, то возмущение (например, давления) распространится с одного ее конца до другого за t ~ 0,01 с. Пусть характерное время процесса (например, время изменения давления на одном конце гидролинии) составляет t0 ~ 1 с. Так как t >> t0, то разница давлений на противоположных концах гидролинии практически не будет заметна, так как скорость передачи возмущения давления с одного конца гидролинии на другой значительно выше скорости внесения в систему внешних возмущений давления. В данном случае можно считать, что жидкость ведет себя, как несжимаемая среда. Нестационарность изменения параметров потока в медленно изменяющихся течениях связана только с инерционностью жидкости.
Таким образом, основным допущением при математическом описании медленно изменяющихся течений является допущение несжимаемости жидкости, то есть .
С учетом этого допущения дифференциальные уравнения движения , принимают вид
Интегрирование уравнений для некоторого произвольного момента времени вдоль оси трубопровода от сечения 1 до сечения 2 дает известное уравнение Бернулли с инерционным членом
|
|
,
где – полный напор потока; – потери полного напора на преодоление сил вязкого сопротивления; – инерционный напор, обусловленный ускорением потока.
Последний член уравнения представляет собой работу сил инерции жидкости. Она может быть как положительной, когда поток тормозится, что приводит к росту полного напора, или отрицательной, когда поток разгоняется. В последнем случае часть полного напора тратится на разгон жидкости. Если течение происходит в трубопроводе постоянного сечения длиной l, то инерционный напор можно определить по формуле
.
Примеры медленно изменяющихся течений
Разгон потока жидкости
Рассмотрим истечение жидкости из большого резервуара в атмосферу через трубопровод после резкого (мгновенного) открытия затвора, рис. 2.1.
Рис. 2.1. Истечение жидкости из большого резервуара при открытии затвора
В зависимости от диаметра трубопровода и располагаемого напора в трубопроводе может реализоваться, как ламинарный, так и турбулентный режим течения. Точнее говоря, в начальный период разгона жидкости течение всегда ламинарное. Однако, если диаметр трубопровода и располагаемый напор достаточно большие, то интервал времени с ламинарным режимом может оказаться пренебрежимо малым.
|
|
Ламинарный режим. Если скоростной напор мал по сравнению с располагаемым напором Н0, то уравнение Бернулли , записанное для сечений 0 и 1, можно представить в виде
,
где n – коэффициент кинематической вязкости жидкости; l, d – длина и диаметр трубопровода.
Положив в этом уравнении , получим скорость стационарного потока w0, которая установится в конце разгона
.
Поделив уравнение на Н0 и перейдя к относительной скорости , получим уравнение в безразмерной форме
,
где – постоянная времени.
Интегрируя в пределах по времени от 0 до t, а по скорости – от 0 до , получим
.
|
|
Стационарное значение скорости достигается при . Однако уже при времени процесса разница между w и w0 становится менее 2 %.
Полученная формула верна при пренебрежимо малой величине скоростного напора. Будем считать, что отвечает этому требованию. Подставляя сюда выражение стационарной скорости из , получим
.
Развитый турбулентный режим. Уравнение движения для данного случая запишется в виде
,
где a – коэффициент Кориолиса; x– коэффициент сопротивления трубопровода. Переходя в к относительным переменным, получим
,
где – постоянная времени; – относительная скорость потока, где стационарная скорость w0 определяется по формуле
.
Разделяя переменные и интегрируя, получим
.
|
|
В данном случае текущее значение скорости отличается от стационарного значения менее, чем на 2 % через промежуток времени
.
Формула применима при развитом турбулентном режиме, то есть когда коэффициент трения l не зависит от числа Рейнольдса. Это условие выполняется при , где D – относительная шероховатость трубопровода. Принимая , то есть требуя, чтобы развитое турбулентное течение было бы, по крайней мере, пока скорость потока изменится от значения w0/3 до w0 и подставляя в это неравенство и выражение для коэффициента сопротивления
,
после перегруппировки получим выражение для относительной длины трубопровода, обеспечивающего применимость формулы :
.
График изменения скорости при разгоне жидкости в относительных переменных для ламинарного и турбулентного режимов показан на рис. 2.2.
Рис. 2.2. Изменение скорости жидкости в трубопроводе при открытии затвора
Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 241; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!