Облегченный способ для матрицы второго порядка
Для матрицы второго порядка можно немного облегчить нахождение обратной, используя следующий алгоритм:
Шаг 1. Находим определитель 
заданной матрицы, если он равен нулю, то делаем вывод, что обратной матрицы не существует, иначе переходим к следующему шагу.
Шаг 2. Элементы, стоящие на главной диагонали меняем местами, а у элементов побочной диагонали меняем знак на противоположный.
Шаг 3. Делим все элементы на и получаем обратную матрицу.
Пример
Задание. Найти обратную матрицу для 
Решение. Шаг 1. 
, тогда обратной матрицы не существует.
Ответ. Так как определитель матрицы 
равен нулю, то она не имеет обратной.
Пример
Задание. Найти обратную матрицу для 
Решение. Шаг 1. Находим определитель: 
Шаг 2. 
Шаг 3. 
Ответ. 
Нахождение обратной матрицы с помощью союзной матрицы
Определение
Матрица 
называется союзной к квадратной матрице , если элементы матрицы равныалгебраическим дополнениям соответствующих элементов матрицы .
Имеет место следующее свойство: 
Тогда, если 
, то 
, а тогда 
Таким образом, матрица имеет союзную тогда и только тогда, когда она невырожденная.
Пример
Задание. Найти обратную матрицу к матрице 
Решение. Вычисляем определитель матрицы:
Так как определитель не равен нулю, то матрица имеет обратную. Обратная матрица 
к матрице находится по формуле:
Найдем союзную матрицу 
, для этого вычислим алгебраические дополнения к элементам матрицы :
Таким образом, 
Транспонируем эту матрицу (т.е. строки матрицы делаем столбцами с тем же номером):
Итак, 
Ответ.
Собственные числа и собственные векторы линейного оператора
Наиболее просто устроены матрицы диагонального вида 
. Возникает вопрос, нельзя ли найти базис, в котором матрица линейного оператора имела бы диагональный вид. Такой базис существует.
Пусть дано линейное пространство Rn и действующий в нем линейный оператор A; в этом случае оператор A переводит Rn в себя, то есть A:Rn → Rn.
Определение. Ненулевой вектор 
называется собственным вектором оператора A, если оператор A переводит в коллинеарный ему вектор, то есть 
. Число λ называется собственным значением или собственным числом оператора A, соответствующим собственному вектору .
Отметим некоторые свойства собственных чисел и собственных векторов.
1. Любая линейная комбинация собственных векторов 
оператора A, отвечающих одному и тому же собственному числу λ, является собственным вектором с тем же собственным числом.
2. Собственные векторы оператора A с попарно различными собственными числами λ1, λ2, …, λm линейно независимы.
3. Если собственные числа λ1=λ2= λm= λ, то собственному числу λ соответствует не более m линейно независимых собственных векторов.
Итак, если имеется n линейно независимых собственных векторов 
, соответствующих различным собственным числам λ1, λ2, …, λn, то они линейно независимы, следовательно, их можно принять за базис пространства Rn. Найдем вид матрицы линейного оператора A в базисе из его собственных векторов, для чего подействуем оператором A на базисные векторы: 
тогда 
.
Таким образом, матрица линейного оператора A в базисе из его собственных векторов имеет диагональный вид, причем по диагонали стоят собственные числа оператора A.
Существует ли другой базис, в котором матрица имеет диагональный вид? Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.
Теорема. Матрица линейного оператора A в базисе 
(i = 1..n) имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда все векторы базиса - собственные векторы оператора A.
Дата добавления: 2018-10-26; просмотров: 376; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!