Дифференциал функции и формула приближенного вычисления

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 7Следующая ⇒

Определение . Дифференциалом функции называется величина, пропорциональная бесконечно малому приращению аргумента , отличающаяся от соответственного приращения функции на величину более высокого порядка.

По определению производной: , откуда следует, что , где – бесконечно малая при , т. е. , тогда , где первое слагаемое и есть дифференциал

, , . (4)

Определение дифференциала позволяет использовать его в приближенных вычислениях, заменив вычисление функции ее дифференциалом. Рассмотрим приращение функции: , или , тогда

. (5)

Это и есть формула приближенного вычисления. Ошибка, получаемая при приближенных вычислениях, есть бесконечно малая высшего порядка, чем приращение аргумента, т. к.

Задача 1. Найти дифференциалы функций:

а) , б) , в) .

Решение: а) , найдем сначала и затем ;

б) , ;

в) , .

Задача 2. Найти приращение и дифференциал функции при и . Вычислить абсолютную и относительную ошибки, которые получаются при замене приращения функции ее дифференциалом.

Решение ,

;

Абсолютная ошибка , относительная ошибка

Задача 3. Вычислить приближенно а) , б) .

Решение. Чтобы воспользоваться формулой (5) надо составить функцию (по виду вычисляемого выражения) и выбрать начальные условия так, чтобы было мало, а можно было легко подсчитать. В случае а) выбираем , ,

, .

, ,

;

б) чтобы было мало, необходимо извлечь целую часть корня, т. е.

, откуда , , ,

, , ,теперь вычислим приближенно :

Производные и дифференциалы высших порядков

Определение 1. Производной второго порядка от функции называется производная от производной первого порядка и обозначается символом или , или .

Пример. , , .

Определение 2. Производной -го порядка называется производная первого порядка от производной -го порядка и обозначается или , или .

Пример. . Найти .

, , ! ,

! , используя метод математической индукции, запишем формулу производной -го порядка !

Определение 3. Дифференциалом высшего порядка функции называется дифференциал от дифференциала -го порядка:

, в частности , здесь .

Пример: . Найти .

, ;

Тогда .

Производная второго порядка от функции, заданной параметрически.

Если , то производные , , последовательно могут быть вычислены по формулам:

= , , и т. д.

Для производной второго порядка имеет место формула .

Пример. Найти от функции

Решение. Найдем сначала , ,

тогда , .

Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей при вычислении пределов

Теорема . Предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших существует и равен пределу отношения их производных:

, если выполняются условия:

1) функции и дифференцируемы в некоторой окрестности точки и в этой окрестности.

(или ).

3) существует конечный или бесконечный.

Здесь может быть числом или одним из символов: .

Задача 1. Вычислить пределы: а) , б) .

Решение. а) Подставив предельное значение аргумента , получаем неопределенность , т.к. , и функции дифференцируемы.

Найдем .

б) При имеем неопределенность . Применим правило Лопиталя: . Полученный предел снова представляет неопределенность вида , применяя еще раз правило Лопиталя, найдем .