Площадь плоской фигуры в полярных координатах
Введем на плоскости полярную систему координат с полюсом O и полярной осью OP. Пусть OAB – криволинейный сектор,ограниченный лучами 
и кривой 
, где 
– непрерывная неотрицательная функция на отрезке 
(рис. 9). Требуется найти его площадь.
Рис. 9
Разобьем отрезок 
на n частей точками 
и проведем лучи 
, 
. Криволинейный сектор OAB разобьется на n криволинейных секторов 
с углами 
, 
. На каждом отрезке 
выберем точку 
и проведем радиусом 
с центром в точке O дугу окружности. Тогда площадь криволинейного сектора можно приближенно заменить площадью кругового сектора радиуса 
с центральным углом 
, равной 
, а площадь всего криволинейного сектора OAB – интегральной суммой
.
Переходя к пределу при 
и учитывая, что 
– непрерывная функция, получим
(формула площади криволинейного сектора в полярных координатах). (3.3)
Площадь фигуры ABCD, ограниченной лучами 
и кривыми 
,
где 
– непрерывные неотрицательные функции такие, что 
для любых 
(рис. 10), вычисляется по формуле
.
Рис. 10
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли 
(рис. 11).
Рис. 11
Решение. Функция 
определена при 
и, следовательно, при 
. Нетрудно видеть, что искомая площадь S равна 
. Тогда
.
Площадь плоской фигуры в случае параметрического задания граничной кривой
Для вычисления площади криволинейной трапеции aABb при задании дуги AB кривой параметрическими уравнениями 
, где y(t) непрерывна, а x(t) монотонно возрастает и непрерывно дифференцируема на отрезке 
и 
, достаточно в формуле для вычисления площади в прямоугольных декартовых координатах сделать в интеграле замену переменной x = x(t):
.
При монотонном убывании x(t), то есть при 
, будем иметь
.
Пример. Вычислить площадь области, ограниченной эллипсом 
(рис. 12).
Рис. 12
Решение. Искомая площадь равна 
, 
при 
, 
при t = 0, 
и 
.
Объем тела вращения
Формула для вычисления объема тела через площади его параллельных сечений
Пусть a и b, соответственно, наименьшая и наибольшая абсциссы точек тела, и площадь сечения тела плоскостью x = const есть известная функция S(x), непрерывная на отрезке [a, b]. Тогда для вычисления объема тела справедлива формула (объема тела через площади параллельных сечений)
. (3.4)
Действительно, разобьем отрезок [a, b] на n частей точками 
и проведем через эти точки деления плоскости, перпендикулярные оси x. При этом тело разобьется на диски (рис. 13) высотой 
. Для каждого 
объем i-го диска заменим приближенно объемом прямого цилиндра с площадью основания 
, а объем всего тела – интегральной суммой 
. Переходя к пределу при 
, получим
.
Рис. 13
Формула для вычисления объема тела вращения
Пусть тело образовано вращением вокруг оси x криволинейной трапеции aABb (рис. 14), дуга AB которой задана уравнением y = y(x), где y(x) – непрерывная неотрицательная функция на отрезке [a, b]. Тогда сечением тела плоскостью x = const является круг радиуса y(x), площадь которого S(x) равна 
. Согласно формуле (3.4) получим для объема тела вращения формулу
. (3.5)
Рис. 14
Пример. Найти объем тела, ограниченного поверхностью параболоида вращения 
и плоскостью x = 2.
Решение. В данном случае тело образовано вращением вокруг оси x криволинейной
трапеции, ограниченной осью x, дугой параболы 
и прямой x = 2. Поэтому по формуле (3.5) получаем
.
Длина дуги кривой
Пусть AB – несамопересекающаяся незамкнутая дуга кривой. Такие дуги называются также простыми дугами. За длину простой дуги принимают предел периметров вписанных ломаных при стремлении к нулю наибольшей из длин звеньев ломаной, если этот предел существует и конечен. В случае замкнутой кривой, а также самопересекающейся кривой, когда она может быть разбита на конечное число простых дуг, за длину кривой принимают сумму длин простых дуг, ее составляющих.
Дата добавления: 2018-09-23; просмотров: 308; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!