Интерполяция функции полезности
Здесь также постулируется общий вид функции полезности. В отличие от предыдущего, параметры функции не назначаются ЛПР, а определяются расчетным путем на основе прямой (числовой) оценки ЛПР некоторых многокритериальных альтернатив. То есть определяются некоторые точки, по которым интерполируется (например, в виде полинома) функция полезности определенного вида.
Например, в форме
здесь xi – оценка по i-му критерию; A, bi, ci, d - коэффициенты. Для рассмотренного примера неизвестными являются значения восьми коэффициентов. Для того, чтобы их выяснить, нужно иметь соответственно восемь случаев, когда при известных оценках альтернативы по трем критериям известны значения полезности альтернативы. После этого составляется система из восьми уравнений третьего порядка и предпринимается попытка ее решения с целью получить значения коэффициентов, с тем, что далее на основе полученных от ЛПР оценок качества альтернатив xi можно было получать значения полезностей альтернатив.
Метод деревьев решений («наука о решениях»)
Под таким названием часто в литературе (особенно ранней) по принятию решений известен подход, связанный с оценкой вероятностей на деревьях решений. Под деревом решений понимается дерево (граф), построенный на ветвлениях исходов сравниваемых альтернатив. То есть изначально предполагается, что неизвестно, к какому из возможных исходов приведет выбор той или иной альтернативы решения. И каждому из возможных исходов приписывается некоторая субъективная вероятность реализации.
|
|
|
Определение субъективных вероятностей неизвестных событий производится следующим образом. Пусть E - некоторое случайное событие реального мира, а lE - лотерея, которая дает выигрыш W, если E происходит, и выигрыш L - в противном случае. Если ЛПР не может определить, то для него лучше - лотерея lE или лотерея, дающая W с вероятностью p и L с вероятностью (1-p), то субъективная вероятность E принимается равной p. Сразу отметим, что не всякий ЛПР готов работать по такой схеме определения субъективных вероятностей.
Сказанное поясним на следующей простейшей иллюстрации идеи метода. Пусть достижение поставленной цели возможно одним из способов (вариантов решения) действий: A или B. Пусть при выборе варианта A точный результат заранее не известен и возможны три альтернативных исхода 1,2,3, привлекательность которых может быть оценена в деньгах: D1,D2,D3.
Пусть известны вероятности этих исходов: p1,p2,p3. Тогда полезность варианта A определяется по формуле:
Аналогично вычисляется полезность варианта B. Выбор соответствует большему значению функции полезности.
|
|
|
Для решения вопроса обо всех возможных исходах различных действий строится дерево решений; для определения вероятностей исходов используется метод лотерей, на основе которого определяются субъективные вероятности событий.
Пример.
р1 , D1
о высококачественный, но дорогой
технология А р2 D2 продукт
о средний по качеству и дорогой
р3 D3 продукт
о средний по качеству, но дешевый
р4 D4 продукт
о высококачественный и дешевый
р5 D5 продукт
технология Б о высококачественный, но очень
дорогой продукт
|
|
|
Приведем методику применения прямых методов.
Следует отметить, что для многих прямых методов сложной остается проблема высоких требований к ЛПР.
Методы компенсации
Впервые идея метода была высказана Б.Франклиным в 1772 г. Он в одном из писем заметил, что трудно при сравнении одновременно держать в голове все достоинства и недостатки каждой из альтернатив. Поэтому он выписывает в два отдельных списка достоинства и недостатки альтернативы, после тщательного анализа определяет, какой недостаток (или их совокупность) можно считать эквивалентными определенному достоинству (или их совокупности), после чего вычеркивает их из списка.
Переход от сравнения качеств по различным критериям к сравнению альтернатив может быть осуществлен различными путями: построение кривых безразличия или сравнение разностей оценок альтернатив по критериям.
Построение кривых безразличия.
Точки P1.P2,P3 называют исходными. Кривые безразличия строятся так.
1) выбирается исходная точка P1(x1,y1),где x1,y1 - значения критериев X,Y в данной точке
2) выбирается приращение Δx по критерию X и определяется координата x2 = x1 + Δx
3) определяется значение y2 по критерию Y, такое, что точка (x2,y2) эквивалентна точке (x1,y1) по полезности: P1(x1,y1) = P1(x2,y2)
|
|
|
4) по найденным точкам строится кривая безразличия – то есть кривые, на которых значения полезности для всех точек эквивалентны.
Если в многокритериальном пространстве построены кривые безразличия, то сравнение многокритериальных альтернатив крайне просто, поскольку эти поверхности можно упорядочить по полезности. То есть для сравнения оценок (вектор оценок) достаточно установить на какую из кривых безразличия попадает стрелка вектора.
Пример: на рис. Р2 предпочтительнее Р1.при условии падения качеств по обеим осям по мере удаления от начала координат.
Методы сравнения разностей оценок альтернатив
Во многих методах принимается как очевидный порядок действий, при котором нужно сначала оценить полезность альтернативы, а уже потом сравнивать альтернативы между собой. Но существует группа методов, в которых принят совсем другой порядок: альтернативы сначала сравниваются покритериально, а уже потом осуществляется общее сопоставление всех достоинств и недостатков каждой из них.
Пусть (x1,x2,...,xn), (y1,y2,...,yn) оценки альтернатив x и y по n критериям. Тогда альтернатива x предпочтительнее, чем альтернатива y, если
где Ui - функция полезности для i-го критерия, Fi - функция, определяющая влияние разностей оценок по i-му критерию на результат сравнения двух альтернатив.
Оказалось, что метод сложения разностей оценок совпадает с методом взвешенных оценок критериев, если в первом из них все функции линейны.
Метод "припасовывания", в котором используется сравнение разностей оценок для упорядочивания многокритериальных альтернатив. Для этого к последовательности альтернатив, упорядоченных по полезности
U1(x1,y1) > U2(x2,y2) > U3(x3,y3),
добавляется альтернатива с оценкой полезности U4(x4,y4). Место этой альтернативы в последовательности определяется путем сравнений:
1 = xi - xk, 2 = yi - yk
Пример. В качестве примера рассмотрим многокритериальную задачу о назначениях, когда необходимо подобрать исполнителя на работу, описываемую набором определенных требований. Применим для этого метод сравнения разностей оценок альтернатив.
Исполнители и работа оцениваются по одним и тем же критериям. Оценки работы рассматриваются как требования, предъявляемые к исполнителю, а оценки исполнителя - как его возможности выполнять определенного вида работу.
Рассмотрим проблему выбора одного из двух исполнителей для определенной работы. Требуется выбрать исполнителя, оценки которого по критериям были бы ближе к оценкам работы.
Первоначально рассматриваются попарно характеристики (совокупность оценок по критериям) работы и каждого из исполнителей. ЛПР путем попарного сопоставления величины падения качества (отклонение от оценок работы в худшую сторону) упорядочивает покритериальные отклонения характеристик исполнителей от характеристик работы. Относительно каждой пары отклонений принимается одно из решений: а) одно из падений качества явно превосходит другое
б) они примерно эквивалентны
Далее ЛПР совершает первую операцию сравнения (ОСР-1). Сравнив все упорядоченные по падению качества отклонения оценок двух исполнителей от показателей работы, ЛПР определяет, не является ли наибольшее отклонение для какого-либо исполнителя столь большим, что явно доминирует над другим. Если в результате ОСР-1 удается установить факт доминирования одного исполнителя над другим по близости к требованиям по работе, то сравнение окончено. Если нет, то ЛПР осуществляет ОСР-2: поочередно сравнивает по два (начиная с наибольших) отклонения падения качества для разных исполнителей. При этом возможны два исхода
а) падение качества для исполнителя Ci по одному критерию превосходит по своему значению (потере полезности) падение качества для исполнителя Cj по другому критерию
б) оба падения качества эквивалентны (либо примерно эквивалентны).
Если доминирование не установлено, то переходят к ОСР-3: сравнивают падение качества для Ci с совокупностью из двух падений качества для исполнителя Cj. Если и здесь не получено доминирование, то возможности исполнителей считаются эквивалентными.
Замечание. Методы построения кривых безразличия очень трудоемки и малопригодны для N>3.
Методы порогов несравнимости
Связь между любой парой альтернатив определяется последовательностью бинарных отношений. "Сильным" бинарным отношениям соответствуют большие требования к превосходству одной альтернативы над другой и, следовательно, большее число несравнимых альтернатив. Самым сильным является требование полного доминирования одной альтернативы над другой. Более "слабые" бинарные отношения определяют условия, при которых, несмотря на противоречивые оценки, одна альтернатива объявляется лучше, чем другая.
На основе выбранного бинарного отношения осуществляется попарное сравнение всех альтернатив (построение бинарного дерева), причем альтернативы, оказавшиеся лучшими при всех сравнениях, выделяются в новое множество, называемое ядром.
Если бинарное отношение является отношением доминирования одной альтернативы над другой, при котором одна альтернатива имеет по всем критериям не худшие, а по одному из критериев лучшие оценки, то появившееся при этом ядро называется множеством Парето.
ПАРЕТО, ВИЛЬФРЕДО (Pareto, Vilfredo) (1848–1923), итальянский экономист и социолог, представитель математической школы в экономике. Родился в Париже 15 июля 1848, в 1858 родители переехали в Италию. После окончания в 1869 Туринского университета, где Парето изучал математику и физику, поступил на работу инженером в железнодорожную компанию. В первых его статьях в периодических изданиях нашла отражение идея Л.Вальраса, что экономика является математической наукой, и когда Вальрас в 1893 ушел в отставку с поста профессора экономики Лозаннского университета (Швейцария), Парето был избран его преемником. В этот период он опубликовал ряд книг – Курс политической экономии (Cours d'économie politique, 1896–1897); Социалистические системы (Les Systémes socialistes, 1902–1903); Учебник политической экономии (Manuale di economia politica, 1906). В последние годы жизни Парето собирал материалы для своей самой известной книги Трактат по общей социологии (Trattato di sociologia generale, 1916). Последним его трудом стало Краткое руководство по общей социологии (Compendio di sociologia generale, 1920).
Парето известен т.н. «законом Парето», обисывающим процесс распределения доходов. В объяснении человеческих действий он выдвинул теорию «остатков» и «производных», а также теорию элиты. В основе его социологии лежит идея о том, что значительная часть социальых действий не имеет ничего общего с логикой, а поступки индивидов нередко продиктованы стремлением придать нерациональным действиям некую видимость логичности. Человек движим как инстинктивными «остатками», так и логизированными «производными» этих остатков.
История человечества есть не что иное, как смена преобладающих настроений среди элиты. К власти могут приходить лидеры с психологией «львов», склонные к консерватизму, однако постепенно в сознании элиты распространяется философия «лис», т.е. людей, склонных к риску. «Лисы» приводят общество к кризису, и происходит возвращение консерваторов к власти. По мнению Парето, этот круг могло бы разорвать применение силы, однако элита постепенно становится все более слабой и стремится избегать насилия.
Парето заметил, что большая часть богатства принадлежит меньшей части населения. Так называемая пропорция Парето "80:20" часто используется в анализе разнообразных явлений. Так, например:
Применительно к стоимости запасов: 80% стоимости запасов на складе составляет 20% номенклатуры этих запасов. Иными словами, Вы должны особо заботиться об оборачиваемости 20% своей номенклатуры, ибо она составляет большую часть связанных в запасах денежных средств.
Применительно к рентабельности продаж: 80% прибыли приносит продажа 20% покупателей. Иными словами, эти 20% покупателей наиболее важны для Вас и именно их Вы должны "холить и лелеять".
Применительно к проблемам качества: большинство (80%) дефектов обусловлено малой (20%) частью причин. Иными словами, выделение этих главных причин дефектов помогает определить очередность мероприятий по повышению качества.
Пример, который приводится, чуть ли не во всех учебниках по менеджменту. Применительно к цене, ценности и умению считать время и деньги:
Предположим, Вы рассыпали 100 монет одинакового номинала. 80% всех монет Вы найдете за 20% времени, на каждую последующую потребуется все больше и больше времени. В конце концов, последние Вы будете искать только в том случае, если совсем не цените свое время или, если их ценность действительно очень высока.
Вильфредо Парето в своем `Руководстве по политической экономии` (1906 г.) определяет оптимальный обмен Парето как такой, при котором хотя бы одна из сторон выигрывает и ни одна не проигрывает. Эта концепция оптимальности используется экономистами при оценке и сравнении различных вариантов перераспределения доходов и ресурсов
В реальной экономике действуют миллионы людей. В этом случае мы сталкиваемся с серьезной проблемой агрегирования индивидуальных предпочтений. Допустим, что общественное благосостояние есть результат прямого суммирования их значений у всех членов общества. В результате состояние А будет считаться более эффективным по сравнению с G, если оно дает большую сумму индивидуальных полезностей, и наоборот. Однако такой подход вызывает серьезную критику. Так, он никак не считается с ухудшением положения части общества (причем, возможно, большей его части), если такое ухудшение перекрывается с избытком улучшением положения другой, возможно, меньшей его части.
Обойти эту сложность впервые удалось В. Парето.
Парето предложил считать, что состояние А предпочтительнее состояния G, если хотя бы для одного индивида состояние А приносит больший уровень полезности, чем состояние G, не снижая уровень полезности ни у одного из остальных индивидов.
Таким образом, при переходе из состояния А в состояние G никто ничего не теряет, а кто-то что-то и выигрывает. Состояние А определяется как парето-предпочтительное (лучшее) по сравнению с G, а состояние G соответственно как парето-худшее по сравнению с А. Отсюда переход из состояния G в состояние А называется парето-улучшением, а обратный переход - парето-ухудшением.
Таким образом, концепция Парето, во-первых, базировалась на разработанной им порядковой теории полезности и, во-вторых, не предполагала межперсональных сравнений уровня полезности, а ограничивалась обычным ранжированием индивидами собственных предпочтений.
Отсутствие необходимости межличностных сравнений в критерии Парето сделало его наименее оспариваемым из всех предлагавшихся критериев и обусловило его широкое применение в экономической теории, хотя поиски других "более совершенных" критериев не прекращаются до сих пор и не прекратятся, очевидно, и впредь.
Выработанный критерий сопоставления состояний выводит на определение экономической эффективности (парето-эффективности). Парето-эффективное состояние обладает тем свойством, что никакое иное достижимое размещение благ не может повысить уровень полезности ни для одного из индивидов без того, чтобы понизить его для кого-нибудь другого.
Подчеркнем, что состояние является парето-эффективным, если по отношению к нему не существует возможное парето-предпочтительное состояние. Соответственно, состояние называется парето-неэффективным, если по отношению к нему существует парето-предпочтительное состояние.
Рассмотрим рис. 1. Здесь по оси абсцисс показана полезность одного из потребителей - UA. По оси ординат - полезность другого UB. Область - это область потребительских возможностей. Она включает в себя и свою границу с правой стороны, так называемую кривую возможных полезностей. A и B могут потребить любой набор благ в пределах их наличного количества, при этом они могут оказаться как в эффективном состоянии ("выжать" всю возможную полезность и оказаться в какой-либо точке на кривой возможных полезностей), так и в неэффективном, т. е. недобрать потенциально достижимую полезность, а значит, оказаться левее кривой возможных полезностей, предположим, в точке G.
Рис. 1. Кривая возможных полезностей.
Точка G, таким образом, показывает парето-неэффективное состояние. Переход из него в любую точку на кривой возможных полезностей на участке АС будет парето-улучшением. При этом переход из точки G в точки А и С удовлетворяет только слабому критерию Парето, переход же в любые другие точки отрезка (например, в точку D) - сильному критерию Парето. Заштрихованная область GAC показывает область возможных парето-улучшений по сравнению с положением в точке G.
Заметим, что осуществленный Парето прорыв в подходе к оценке эффективности (отказ от межперсональных сравнений благосостояния) оборачивается тем, что называется неполнотой критерия Парето.
Во-первых, мы не можем проранжировать состояния на кривой возможных полезностей, т. е. расставить по степени предпочтения различные парето-эффективные состояния. Обращаясь к рис. 1, можно сказать, что критерий Парето не дает нам оснований утверждать, какая из точек F, A, D, C,F', "лучше". Отсюда следует вывод, что критерий Парето нейтрален по отношению к распределению полезностей между индивидами. В точке F B получает все, а A - ничего, в точке F' - наоборот, и тем не менее оба случая относятся к парето-эффективным состояниям. О них можно говорить как о парето-несравнимых состояниях.
Во-вторых, не всегда критерий парето позволяет характеризовать переход от парето-неэффективного к парето-эффективному состоянию как парето-улучшение и соответственно обратный переход как парето-ухудшение. Возьмем, например, переход из точки G в точку Е на рис. 1. Точка Е находится на кривой возможных полезностей, следовательно, характеризует парето-эффективное состояние. Точка G, как мы знаем, нет. И тем не менее этот переход не является парето-улучшением. Относительно точки G любые возможвозможные переходы на отрезки FA (за исключением перехода в точку А) и СF' (за исключением перехода в точку С) не являются парето-улучшением
Рассмотренные выше случаи говорят о том, что неполнота критерия Парето возникает всякий раз, когда положение (благосостояние) одного индивида улучшается, а другого - ухудшается при переходе из одного состояния в другое.
Теория эффективности Парето построена на следующих ценностных суждениях, которые принимаются в качестве аксиом.
1. Безразличие критерия к процессу. Сосредоточив внимание исключительно на сравнении различных состояний (аллокаций), теория Парето тем самым вносит достаточно жесткое ценностное утверждение о безразличии к процессу (механизму), посредством которого достигается определенное состояние. Например, это означает, что не имеет значения, достигается ли эффективное размещение с помощью механизма, позволяющего индивидам принимать самостоятельные решения, или же такого механизма, который предписывает индивидам, как они должны распоряжаться своим трудом или какие наборы благ они должны потреблять. Иначе говоря, безразлично, достигается ли эффективная аллокация рыночным механизмом или же централизованной плановой экономикой.
2. Индивидуализм. В соответствии с критериями парето единственное, что имеет значение при оценке того или иного размещения, - это ее воздействие на индивидов в обществе.
3. Отсутствие патернализма. Тот факт, что состояния оцениваются индивидами исключительно на основе собственных функций полезности (предпочтений), предполагает, что индивиды - безусловно лучшие судьи (оценщики) собственного благосостояния. Это также очень жесткое ценностное суждение, которое принимается далеко не всеми людьми. С этой позиции, например, ничем не оправдан запрет на торговлю наркотиками и их потребление; его введение явно ведет к парето-ухудшению, и при его наличии парето-эффективное состояние недостижимо в принципе.
4. Благожелательность. Подход Парето предполагает благожелательность к индивиду, поскольку, при прочих равных условиях, увеличение благосостояния одного индивида рассматривается как улучшение.
5. Атомистичность. Общество представляется только как простая совокупность отдельных индивидов, а не как сложное органическое целое. В этом экономический подход отличается от социологического. Однако дело здесь не только в различии методологии анализа. Экономический подход к обществу основан на ценностном представлении, что нет ничего выше интересов индивида
Как и ранее попарное сравнение альтернатив ai и aj по критериям качества q1,q2,...,qm означает попарное сравнение оценок xil и xjl,l=1,2,...,m. Если xil ≥ xjl и хотя бы одно из этих неравенств строгое, то говорят, что aj ДОМИНИРУЕТСЯ альтернативой ai
После отбрасывания всех доминируемых альтернатив, оставшиеся и образуют множество Парето или множество эффективных решений. Множество Парето содержит такие альтернативы, для которых невозможно одновременное улучшение по всем критериям. Главное свойство множества Парето состоит в том, что всякое дальнейшее улучшение по одному критерию может быть осуществлено только за счет ухудшения по какому-либо другому критерию. Выделение множества Парето сужает множество альтернатив и тем самым облегчает процедуру выбора.
Пример. Пусть имеется два критерия – стоимость и надежность и три альтернативы решения, как показано ниже в таблице
| Альтернативы критерии | q1 - cтоимость | q2 - надежность |
| a1 | небольшая | малая |
| a2 | большая | высокая |
| a3 | небольшая | высокая |
Покажем на графике, что альтернативы a1 и a2 несравнимы
|
|
Из графика понятно, что наиболее предпочтительная альтернатива a3 не попадает в множество Парето.
После выделения ядра - множества Парето элементы этого ядра объявляются несравнимыми. Но затем задается более слабое бинарное отношение и число несравнимых элементов становится меньше. Затем - третье и т.д. Последнее ядро предъявляется ЛПР для оценки. Его элементы - "лучшие", но они "крайне не похожи друг на друга".
На этих идеях основаны методы порогов несравнимости, одним из видов которых являются методы ЭЛЕКТРА (исключение и выбор в условиях реальности).
Бинарные отношения в методах ЭЛЕКТРА строятся следующим образом. Каждому из N критериев, имеющих числовые шкалы, ставится в соответствие целое число p, характеризующее важность критерия.
Выдвигается гипотеза о превосходстве альтернативы a над альтернативой b. Множество I, состоящее из N критериев, разбивается на три подмножества:
I+(a,b) - подмножество критериев, по которым a предпочтительнее b
I-(a,b) - подмножество критериев, по которым a равноценно b
I=(a,b) - подмножество критериев, по которым b предпочтительнее a
Далее формируется индекс согласия с гипотезой о превосходстве альтернативы a над альтернативой b. В методе ЭЛЕКТРА 1 этот индекс определяется как отношение суммы весов критериев подмножеств I+ и I= к общей сумме весов:
Назяду с этим определяется индекс несогласия с гипотезой о превосходстве a над b. Для критериев подмножества I-(a,b) определяется Dab - разности оценок альтернатив b и a. Эти разности для удобства выражаются в долях L - наибольшей (по длине) числовой
шкалы критериев.
здесь 
- оценки альтернатив a и b по i – му критерию, Li – длина шкалы по i-му критерию.
Индексы Dab упорядочиваются по длине.
Если Cab > C1 и Dab < D1 (где C1, D1 - заданные уровни согласия - несогласия), то
альтернатива a объявляется превосходящей альтернативу b. Уровни C1, D1 позволяют выделить ядро, в которое входят доминирующие и несравнимые элементы.
Любое бинарное отношение определяет на множестве альтернатив подмножество недоминируемых альтернатив, называемое ядром. В качестве первого бинарного отношения во всех методах данной группы используется отношение полного доминирования, риводящее к выделению множества Парето. Далее рекомендуется использовать вложенные бинарные отношения
S1 Ì S2 Ì S3 ...
Так, в методе ЭЛЕКТРА1 для индексов согласия и несогласия справедливо:
Ci+1 < Ci, Di+1 > Di
Если справедливо, что отношение превосходства для двух альтернатив, полученное при использовании Si, всегда останется в силе при использовании Si+1, то на каждом этапе процедуры можно рассматривать не все множество альтернатив, а уменьшающуюся последовательность ядер.
Методы этой группы появились с целью дать ЛПР возможность последовательного изучения альтернатив и изменения некоторых параметров.
Дата добавления: 2018-09-23; просмотров: 426; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!