Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами и специальной правой частью

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

Для дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами вида уравнения (11) существует более простой способ нахождения частного решения , если правая часть имеет так называемый «специальный вид»:

(5)

где – постоянные, , – многочлены степени n и m соответственно.

Алгоритм построения частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения (2) следующий:

1. Найти корни характеристического уравнения (4).

2. Сравнить заданную правую часть уравнения (2) с общим видом выражения (5), при котором применим метод неопределенных коэффициентов, и найти из этого сопоставления три числа: , .

3. Сравнить контрольное комплексное число с корнями характеристического уравнения и найти число корней r, совпавших с этим комплексным числом (если таких корней нет, то r = 0).

4. Записать частное решение неоднородного уравнения (2) в виде

где и – многочлены одной и той же степени l, но с неопределёнными и различными коэффициентами.

5. Для нахождения неопределенных коэффициентов подставить записанное в п. 4 частное решение в исходное уравнение и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях переменной х. В результате получают систему уравнений, из которой находят значения неопределенных коэффициентов.

Примечания:

1. Если правая часть уравнения (2) имеет более простой вид: , то частное решение ищут в виде .

2. Правая часть уравнения может содержать только функцию вида или функцию вида , но частное решение следует искать в полной форме, содержащей и и .

Пример 6. Найти общее решение уравнения

Решение: общее решение уравнения будем искать в виде , где – общее решение соответствующего однородного уравнения , – частное решение неоднородного уравнения.

Характеристическое уравнение имеет корни и . Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид .

Частное решение неоднородного уравнения найдем методом неопределенных коэффициентов:

1. Корни характеристического уравнения и .

2. , т.е. , ; , и – многочлены нулевой степени, .

3. Число – корень характеристического уравнения кратности 1, поэтому r = 1.

4. Частное решение следует искать в виде .

5. Подставим в исходное уравнение:

, );

;

; ;

Общее решение исходного уравнения имеет вид .

Ответ: .

Пример 7. Решить уравнение .

Решение: общее решение уравнения будем искать в виде , где – общее решение соответствующего однородного уравнения , – частное решение неоднородного уравнения.