Изоморфизм унитарных пространств.

Стр 1 из 10Следующая ⇒

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК

КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

Д. И. ИВАНОВ

АЛГЕБРА

(ЧАСТЬ II)

Учебно-методическое пособие

Тюмень

2009

УДК 512.8

Д. И. Иванов. Алгебра (часть II): Учебно-методическое пособие по дисциплине «Алгебра» для студентов специальности «Компьютерная безопасность». Тюмень: Печатник, 2009, 125 стр.

Данное пособие разработано в соответствии с государственным образовательным стандартом и учебным планом специальности «Компьютерная безопасность» (II семестр), содержит теоретическую часть и комплекс практических заданий.

Рекомендовано к печати Учебно-методической комиссией института математики и компьютерных наук. Одобрено Учебно-методической секцией Учёного совета Тюменского государственного университета.

ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: В. Н. Кутрунов, д. ф.-м. н., профессор.

РЕЦЕНЗЕНТЫ: А. Н. Дёгтев, д. ф.-м. н., профессор кафедры алгебры и математической логики Тюменского государственного университета.

С. Д. Захаров, к. ф.-м. н., зав. каф. математики информатики и естественных наук Тюменского государственного института мировой экономики управления и права.

ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВОМ И УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВАХ.

Евклидовы и унитарные пространства.

Понятие мерного линейного пространства , данное в § 3.1 [1], далеко не в полной мере обобщает понятия плоскости или трехмерного евклидова пространства: в не определены ни длина вектора, ни угол между векторами. Поэтому невозможно развитие богатой геометрической теории. Оказывается, что положение может быть исправлено путем введения понятия скалярного умножения векторов. В курсе аналитической геометрии оно определяется при помощи длин векторов и угла между ними, но, как оказывается, и длина вектора, и угол между векторами в свою очередь могут быть выражены через скалярные произведения. Определим поэтому в любом мерном линейном пространстве понятие скалярного умножения, причем определим аксиоматически, при помощи некоторых свойств, которыми, как хорошо известно, скалярное умножение векторов плоскости или трехмерного пространства на самом деле обладает.

Будем говорить, что в мерном действительном линейном пространстве определено скалярное умножение, если всякой паре векторов поставлено в соответствие действительное число, обозначаемое символом и называемое скалярным произведением векторов и , причем выполняются следующие условия (здесь любые векторы пространства , любое действительное число):

II.

III.

IV. Если , то скалярный квадрат вектора строго положителен,

Отметим, что из III при следует равенство

(1)

т. е. скалярное произведение нулевого вектора на любой вектор равно нулю; равен нулю, в частности, скалярный квадрат нулевого вектора.

Из II и III немедленно вытекает следующая формула для скалярного произведения и линейных комбинаций двух систем векторов:

Если в мерном действительном линейном пространстве определено скалярное умножение, то это пространство называется мерным евклидовым пространством.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. При любом в мерном линейном пространстве можно определить скалярное умножение, т. е. можно превратить это пространство в евклидово.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В самом деле, возьмем в пространстве любой базис . Если

то положим

(2)

Легко проверяется, что условия I - IV будут выполнены, т. е. равенство (1) определяет в пространстве скалярное умножение. □

Мы видим, что в мерном линейном пространстве скалярное умножение можно задать, вообще говоря, многими различными
способами - определение (2) зависит, понятно, от выбора базиса, а мы пока не знаем, кроме того, нельзя ли ввести скалярное умножение и каким-либо принципиально иным способом. Нашей ближайшей целью является обозрение всех возможных способов превращения мерного действительного линейного пространства в евклидово пространство и установление того, что в некотором смысле для всякого существует одно-единственное мерное евклидово пространство.

Пусть дано произвольное мерное евклидово пространство ,т. е. в мерном линейном пространстве произвольным способом введено скалярное умножение. Векторы и называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю,

Из (1) следует, что нулевой вектор ортогонален к любому вектору; могут существовать, однако, и ненулевые ортогональные векторы.

Система векторов называется ортогональной системой, если все векторы этой системы попарно ортогональны между собой.

ТЕОРЕМА 1. Всякая ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть, в самом деле, в дана система векторов причем и

(3)

Если

то, скалярно умножая обе части этого равенства на вектор получаем:

Отсюда, так как по IV, вытекает что и требовалось доказать. □

Опишем далее так называемый процесс ортогонализации, т. е. некоторый способ перехода от любой линейно независимой системы из векторов евклидова пространства к ортогональной системе, также состоящей из ненулевых лекторов; эти векторы будут обозначены через .

Положим , т. е. первый вектор системы ( ) войдёт и в строящуюся нами ортогональную систему. Положим, далее,

Так как а векторы и линейно независимы, то вектор отличен от нуля при любом числе . Подберем это число из условии, что вектор должен быть ортогонален к вектору :

откуда, ввиду IV,

Пусть уже построена ортогональная система ненулевых векторов ; дополнительно предположим, что для всякого вектор является линейной комбинацией векторов Это предположение будет выполняться тогда и для вектора если он будет выбран в виде

Вектор будет при этом отличен от нуля, так как система ( ) линейно независимая, а вектор не входит в записи векторов . Коэффициенты подберем из условия, что вектор должен быть ортогонален ко всем векторам

отсюда, так как векторы ортогональны между собой,

т. е.

Продолжая этот процесс, мы построим искомую ортогональную систему .

Применяя процесс ортогонализации к произвольному базису пространства , мы получим ортогональную систему из ненулевых векторов, т. е., так как эта система по доказанному линейно независима, ортогональный базис. При этом, используя замечание, сделанное в связи с первым шагом процесса ортогонализации, а, также учитывая, что всякий, ненулевой вектор можно включить в некоторый базис пространства, можно сформулировать даже следующее:

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Всякое евклидово пространство обладает ортогональными базисами, причем любой ненулевой вектор этого пространства входит в состав некоторого ортогонального базиса. □

В дальнейшем важную роль будет играть один специальный вид ортогональных базисов; базисы этого вида соответствуют прямоугольным декартовым системам координат, используемым в аналитической геометрии.

Назовем вектор нормированным, если его скалярный квадрат равен единице, т. е.

Если , откуда , то нормированием вектора называется переход к вектору

Вектор будет нормированным, так как

Базис евклидова пространства называется ортонормированным, если он ортогонален, а все его векторы нормированы, т. е.

(4)

Пример 1. Привести систему векторов

к ортонормированному виду.

Решение. Применим к указанным векторам процесс ортогонализации. Вектор ищем в виде

Подставляя значения, получим Далее ищем Здесь После подстановки, имеем:

Осталось нормировать систему .

Итак, искомая ортонормированная система.

УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Всякое евклидово пространство обладает ортонормированными базисами.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно взять любой ортогональный базис и нормировать все его векторы. Базис останется при этом ортогональным, так как при любых и из следует

□

ТЕОРЕМА 2. Базис евклидова пространства тогда и только тогда будет ортонормированным, если скалярное произведение любых двух векторов пространства равно сумме произведений соответственных координат этих векторов в указанном базисе, т. е. из

(5)

следует

(6)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, если для нашего базиса выполняются равенства (4), то

Обратно, если наш базис таков, что для любых векторов и , записанных в этом базисе в виде (5), справедливо равенство (6), то, беря и качестве и любые два вектора этого базиса и , различные или одинаковые, мы из (6) выведем равенства (4). □

Сопоставляя полученный сейчас результат с изложенным ранее доказательством существования мерных евклидовых пространств для любого , можно высказать следующее:

УТВЕРЖДЕНИЕ 4. Если в мерном линейном пространстве выбран произвольный базис, то в можно так задать скалярное умножение, что в полученном евклидовом пространстве выбранный базис будет одним из ортонормированных. □

Евклидовы пространства и называются изоморфными, если между векторами этих пространств можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что выполняются следующие требования:

1) это соответствие является изоморфным соответствием между и , рассматриваемыми как линейные пространства;

2) при этом соответствии сохраняется скалярное произведение; иными словами, если образами векторов и из служат соответственно векторы и из , то

(7)

Из условия 1) сразу следует, что изоморфные евклидовы пространства имеют одну и ту же размерность. Докажем обратное утверждение:

ТЕОРЕМА 3. Любые евклидовы пространства и , имеющие одну и ту же размерность , изоморфны между собой.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В самом деле, выберем в пространствах и ортонормированные базисы и, соответственно, .

Ставя в соответствие всякому вектору из вектор из , имеющий в базисе те же координаты, что и вектор в базисе , мы получим, очевидно, изоморфное соответствие между линейными пространствами и . Покажем, что выполняется и равенство (7): если

то, в силу (6):

.□

Естественно изоморфные евклидовы пространства не считать различными. Поэтому для всякого существует единственное мерное евклидово пространство в том же смысле, в каком для всякого существует единственное мерное действительное линейное пространство.

На случай комплексных линейных пространств понятия и результаты настоящего параграфа переносятся следующим образом. Комплексное линейное пространство называется унитарным пространством, если в нем задано скалярное умножение, причем будет комплексным числом; при этом должны выполняться аксиомы II - IV, а аксиома I заменяется следующей аксиомой:

I '.

где черта над скалярным произведением обозначает, как обычно, переход к сопряженному комплексному числу. Следовательно, скалярное произведение в унитарном пространстве не будет коммутативным. Тем не менее, равенство, симметричное аксиоме II, остается справедливым.

II '.

так как

III '.

так как

IV '. Скалярный квадрат ненулевого вектора комплексного линейного пространства действителен и строго положителен,

Понятия ортогональности и ортонормированной системы векторов переносятся на случай унитарных пространств без всяких изменений. Как и выше, доказывается существование ортонормированных базисов во всяком конечномерном унитарном пространстве. При этом, однако, если ортонормированный базис и векторы имеют в этом базисе разложение , то

Пусть элемент унитарного пространства . Число называется длиной вектора в этом пространстве. Только нулевой вектор имеет длину, равную нулю.

ТЕОРЕМА 4. Для любых двух векторов мерного унитарного пространства имеет место неравенство Коши - Буня ковского

причем равенство достигается лишь в случае, когда векторы и линейно зависимые.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно доказать это неравенство для векторов, отличных от нуля. Рассмотрим . Преобразовывая левую часть, получим

Положим , после подстановки в неравенство и домножения на , получим

Учитывая, что , имеем

Если , т. е. и линейно зависимые, то имеет место равенство. Равенство достигается и в том случае, когда один из векторов нулевой (в этом случае система так же линейно зависима). □

Из неравенства Коши - Буняковского легко вытекает так называемое «неравенство треугольника для векторов», а именно:

Действительно,

где целая часть комплексного числа . Так как

, то

. □

Величиной угла между двумя отличными от нуля векторами и в мерном евклидовом пространстве называется число , , определенное условием

Из неравенства Коши - Буняковского следует, что угол (в пределах ) однозначно определен. При этом (т. е. векторы и перпендикулярны или ортогональны между собой) тогда и только тогда, когда .

Изоморфизм унитарных пространств.

Два унитарных (или евклидовых) пространства и называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие , для которого

и .

ТЕОРЕМА. (об изоморфизме унитарных пространств). Два унитарных пространства изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, что если и изоморфны, то они являются изоморфными, как линейные пространства. Однако изоморфные линейные пространства имеют одинаковую размерность [1].

Обратно, пусть размерности и равны, а и , соответственно, их ортонормированные базисы. Зададим отображение следующим образом: если

то считаем

Это отображение взаимнооднозначно и сохраняет операции сложения и умножения на число. Значит, они изоморфны, как линейные пространства.

Покажем, что сохраняет скалярное произведение. Рассмотрим два произвольных вектора

Тогда

То есть . □

Линейные функции.

Рассмотрим произвольное линейное пространство над полем . Отображение называется линейной функцией, если

Нетрудно проверить, что если и линейные функции, то и , такие что и , так же являются линейными функциями. Поэтому, множество всех линейных функций, заданных в образуют линейное пространство относительно их сложения и умножения числа на функцию.

ЛЕММА. (о существовании и единственности линейной функции). Для любого базиса линейного пространства и любого набора существует единственная линейная функция , такая, что

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть произвольный вектор из . Зададим отображение следующим образом:

Очевидно, что .

Проверим, что линейная функция. Пусть . Тогда

Докажем единственность. Предположим, что существует другая линейная функция , удовлетворяющая условию леммы, т. е.

. Тогда . □

Пусть унитарное пространство. Положим по определению для любых и фиксированного . Тогда имеет место

ТЕОРЕМА. Функция является линейной и однозначно определяется по . Обратно, для каждой линейной функции существует элемент , такой что .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Вначале докажем линейность функции. Действительно

Пусть теперь , тогда . При имеем , т. е. . Тем самым показано, что каждому соответствует единственная линейная функция .

Наконец, пусть произвольная линейная функция, заданная в пространстве . Докажем, что существует элемент , такой, что для любых . Пусть ортонормированный базис пространства . По лемме, существует единственный набор , такой, что . Рассмотрим вектор

тогда . Для произвольного вектора , имеем

. □

Сопряжённые операторы.

Построим по каждому линейному оператору мерного унитарного пространства оператор , сопряжённый данному. Выберем в вектор и рассмотрим функцию переменной . Эта функция является линейной. Действительно

С другой стороны , где по теореме из предыдущего параграфа определяется однозначно по функции , т. е. по и . Таким образом, при фиксированном для каждого имеется единственный вектор . Оператор называется сопряжённым к , т. е.

Покажем, что для каждого сопряжённый оператор определяется однозначно. Предположим, что существует оператор , такой что , тогда

Нетрудно убедиться в том, что сопряжённый оператор является линейным. Действительно

Значит .

Отметим следующие свойства сопряжённого оператора:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Докажем первое свойство.

. Другие свойства доказываются аналогично.

Если квадратная матрица порядка , то матрица , полученная из заменой всех её элементов на комплексно-сопряжённые и последующим её транспонированием, называется сопряжено транспонированной. Т. е. если , то .

ТЕОРЕМА. Если линейный оператор в ортонормированном базисе имеет матрицу , то сопряжённый оператор будет иметь в этом базисе сопряжено транспонированную матрицу.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть в унитарном пространстве задан ортонормированный базис , а матрицы операторов и в этом базисе будут соответственно , т. е. для любых

;

Домножим первое равенство справа на , получим

, следовательно . □

Пример 1. Линейный оператор задан в евклидовом пространстве в базисе из векторов матрицей

Найти матрицу сопряжённого оператора в том же базисе, считая, что координаты векторов базиса даны в некотором ортонормированном базисе.

Решение. Координаты векторов заданы в некотором ортонормированном базисе . Матрица перехода от к будет

Значит, , где матрица того же оператора в ортонормированном базисе. Откуда .

Находим

Тогда

Матрица сопряжённого оператора будет по предыдущей теореме сопряжено транспонированной, а так как оператор задан в евклидовом пространстве, то просто транспонированной.

Возвращаемся к исходному базису

Нормальные операторы.

Линейный оператор унитарного пространства называется нормальным, если

т. е. если он перестановочен со своим сопряжённым.

Если ортонормированный базис пространства и матрица нормального оператора в этом базисе, то по теореме из §1.3 имеем .

Справедливы следующие три теоремы о нормальных операторах.

ТЕОРЕМА 1. Всякий собственный вектор нормального оператора , соответствующий собственному значению будет и собственным вектором оператора , который соответствует комплексно-сопряжённому значению .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если линейный оператор, а тождественный оператор , то также линейный оператор, сопряжённым для которого будет (т. к. ). По условию нормальный оператор, значит . Нетрудно проверить, что

Из того, что является собственным вектором оператора следует, что , значит

То есть и . □

ТЕОРЕМА 2. Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям нормального оператора будут ортогональны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть .

Тогда

Откуда , следовательно , т. к. . □

ТЕОРЕМА 3. (основная о нормальных операторах). Для каждого нормального оператора в унитарном пространстве найдётся ортонормированный базис, составленный из собственных векторов оператора . Матрица имеет в этом базисе диагональный вид.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть характеристический корень линейного оператора (по основной теореме алгебры комплексных чисел [3] такой корень существует). Ему соответствует собственный вектор . Рассмотрим множество , которое является подпространством пространства и называется ортогональным к . Так как , то для любого вектора справедливо

Таким образом, как только . Такое подпространство называется инвариантным, относительно оператора .

Рассмотрим оператор , заданный на следующим образом: . Оно называется ограничением на . Заметим, что собственные векторы будут собственными векторами и .

Далее аналогично находим в собственный вектор оператора . Пусть подпространство векторов, ортогональных к и . будет опять инвариантным относительно , т. к. является пересечением двух инвариантных подпространств. В нём снова найдётся собственный вектор оператора . И т. д.

Продолжая указанную процедуру, получим ортогональный базис пространства , составленный из собственных векторов оператора . Остаётся нормировать этот базис.

В этом базисе матрица линейного оператора будет иметь диагональный вид [2]. □

Унитарные операторы.

Линейный оператор унитарного пространства называется унитарным, если он сохраняет скалярное произведение векторов, т. е.

Непосредственно из определения унитарного оператора следует:

т. е. тождественный оператор. Следовательно, унитарный оператор можно определить как оператор, для которого .

Так как , заключаем, что унитарный оператор является частным случаем нормального оператора.

Если матрица оператора в некотором ортонормированном базисе, то матрица будет сопряжено транспонированной. Условие унитарности оператора в матричной форме будет выглядеть следующим образом: или . Такая матрица тоже называется унитарной.

Если линейный оператор рассматривается в евклидовом пространстве и сохраняет скалярное произведение, то его матрица в некотором базисе будет такой, что , т. е. транспонированная матрица совпадает с обратной. Такой оператор называют ортогональным, а его матрицу ортогональной.

ТЕОРЕМА 1. Линейный оператор унитарного пространства является унитарным тогда и только тогда, когда он сохраняет длину вектора, т. е. .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно,

В другую сторону, пусть . Тогда для любого справедливо: . Если сохраняет скалярное произведение, то . Раскрывая скобки и учитывая, что и , получим

(1)

При получаем

(2)

В случае евклидова пространства, т. к. , имеем .

Иначе, положим в (1) , получим

Прибавим полученное равенство к (2), тогда . □

ТЕОРЕМА 2. Линейный оператор унитарного пространства является унитарным тогда и только тогда, когда переводит любой ортонормированный базис этого пространства снова в ортонормированный.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ортонормированный базис пространства . По определению унитарного пространства , значит, . А по предыдущей теореме .

Обратно, пусть

, , тогда . Так как по предположению переводит ортонормированный базис в ортонормированный, то

Следовательно, унитарный оператор. □

ТЕОРЕМА 3. (основная об унитарных операторах). Матрица унитарного оператора в подходящем ортонормированном базисе является диагональной, с диагональными элементами, равными по модулю единице.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как является частным случаем нормального оператора, то по основной теореме о нормальных операторах, в некотором ортонормированном базисе он задаётся диагональной матрицей. Покажем, что собственные значения по модулю равны 1.

Пусть . тогда

Но , т. е. . Значит, , т. е. . □

Дата добавления: 2018-09-20; просмотров: 522; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!