Признаки делимости на 3 и на 9.
Вопрос № 18
Признак делимости на 2.
Число, делящееся на 2, называется четным, не делящееся - нечетным. Число делится на два, если его последняя цифра четная или нуль. В остальных случаях - не делится.
Например, число 52 738 делится на 2, так как последняя цифра 8 - четная; 7691 не делится на 2, так как 1 - цифра нечетная; 1250 делится на 2, так как последняя цифра нуль.
Признак делимости на 4.
Число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 4. В остальных случаях - не делится.
Примеры.
31 700 делится на 4, так как оканчивается двумя нулями;
215 634 не делится на 4, так как последние две цифры дают число 34, не делящееся на 4;
16 608 делится на 4, так как две последние цифры 08 дают число 8, делящееся, на 4.
Признаки делимости на 3 и на 9.
На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3; на 9 - только те, у которых сумма цифр делится на 9.
Примеры.
Число 17835 делится на 3 и не делится на 9, так как сумма его цифр 1 +7 + 8 + 3 + 5 = 24 делится на 3 и не делится на 9.
Число 105 499 не делится ни на 3, ни на 9, так как сумма его цифр (29) не делится ни на 3, ни на 9.
Число 52 632 делится на 9, так как сумма его цифр (18) делится на 9.
Признаки делимости на 5.
На 5 делятся числа, последняя цифра которых 0 или 5. Другие - не делятся.
Пример.
240 делится на 5 (последняя цифра 0);
554 не делится на 5 (последняя цифра 4).
Признак делимости на 25.
На 25 делятся числа, две последние цифры которых нули или образуют число, делящееся на 25 (т. е. числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75). Другие не делятся.
|
|
|
Пример.
7150 делится на 25 (оканчивается на 50), 4855 не делится на 25.
Доказательство делимости на 2
Теорема: Чтобы целое число a делилось на 2 необходимо и достаточно, чтобы в записи числа a последней цифрой была 0, 2, 4, 6 или 8.
Доказательство: Число a всегда можно представить в виде суммы целого числа десятков и числа единиц, то есть, в виде a=a1·10+a0, где a1 – число, полученное из числа a, если в его записи убрать последнюю цифру, а a0 – число, соответствующее последней цифре в записи числа a (для пояснения приведем примеры таких представлений: 46=4·10+6, 24 328=2 432·10+8). В равенстве a=a1·10+a0произведение a1·10 всегда делится на 2, что мы показали перед этой теоремой.
Все дальнейшее доказательство базируется на следующем свойстве делимости: если два из трех целых чисел в равенстве t=u+v делятся на некоторое целое число z, то и третье число тоже делится на z.
Если a делится на 2, то из указанного свойства делимости и представления a=a1·10+a0 следует, что a0 делится на 2, а это возможно лишь для a0 равного 0, 2, 4, 6 или 8. Если же a не делится на 2, то опять же в силу указанного свойства делимости число a0 не может делиться на 2 (иначе бы a делилось на 2), а это возможно только при a0 равном 1, 3, 5, 7 или 9. Этим доказана необходимость.
|
|
|
Теперь обратно. Если число a оканчивается на одну из цифр 0, 2, 4, 6 или 8, то a0 делится на 2. Поэтому в силу указанного свойства делимости и представления a=a1·10+a0 можно сделать вывод о делимости числа a на 2. Если же a оканчивается на одну из цифр 1, 3, 5, 7 или 9, то a0 не делится на 2, поэтому a тоже не делится на 2. В противном случае в силу указанного свойства делимости и представления a=a1·10+a0 число a0 делилось бы на 2, что невозможно. Этим доказана достаточность.
Доказательство признака делимости на 5
Теорема.
Для делимости целого числа a на 5 необходимо и достаточно, чтобы запись числа a оканчивалась цифрой 0 или 5.
Доказательство.
Сначала докажем вспомогательное утверждение: произведение a1·10, где a1 – целое число, делится на 5.
Число 10 делится на 5, так как 10=5·2, тогда произведение a1·10 тоже делится на 5 в силу следующего свойства делимости: если целое число a делится на целое число b, то произведение m·a, где m – любое целое число, делится на b.
Теперь переходим к доказательству теоремы.
Правило умножения на 10 позволяет любое целое число a, запись которого оканчивается нулем, представить в виде a=a1·10, где число a1 получается из числа a, если в его записи справа убрать цифру 0. Если же в записи числа a справа находится произвольная цифра a0 (a0 – это 0 или 1, или 2, …, или 9), то a можно представить в виде a=a1·10+a0. Для пояснения приведем пример такого представления: 54 327= 5 432·10+7.
|
|
|
Дальнейшее доказательство основано на следующем свойстве делимости: если в равенстве a=s+t все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число b, то и этот один член делится на b.
В равенстве a=a1·10+a0 произведение a1·10 делится на 5 (что мы показали в начале теоремы). Если a0 делится на 5 (что возможно, если a0=0 или a0=5), то по указанному свойству делимости на 5 делится и число a. Этим доказана достаточность. С другой стороны, если a делится на 5, то по указанному свойству делимости и a0 делится на 5. Так доказана необходимость.
Вопрос 19
Признак делимости на 2.
Число, делящееся на 2, называется четным, не делящееся - нечетным. Число делится на два, если его последняя цифра четная или нуль. В остальных случаях - не делится.
Например, число 52 738 делится на 2, так как последняя цифра 8 - четная; 7691 не делится на 2, так как 1 - цифра нечетная; 1250 делится на 2, так как последняя цифра нуль.
Признак делимости на 4.
|
|
|
Число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 4. В остальных случаях - не делится.
Примеры.
31 700 делится на 4, так как оканчивается двумя нулями;
215 634 не делится на 4, так как последние две цифры дают число 34, не делящееся на 4;
16 608 делится на 4, так как две последние цифры 08 дают число 8, делящееся, на 4.
Признаки делимости на 3 и на 9.
На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3; на 9 - только те, у которых сумма цифр делится на 9.
Примеры.
Число 17835 делится на 3 и не делится на 9, так как сумма его цифр 1 +7 + 8 + 3 + 5 = 24 делится на 3 и не делится на 9.
Число 105 499 не делится ни на 3, ни на 9, так как сумма его цифр (29) не делится ни на 3, ни на 9.
Число 52 632 делится на 9, так как сумма его цифр (18) делится на 9.
Признаки делимости на 5.
На 5 делятся числа, последняя цифра которых 0 или 5. Другие - не делятся.
Пример.
240 делится на 5 (последняя цифра 0);
554 не делится на 5 (последняя цифра 4).
Признак делимости на 25.
На 25 делятся числа, две последние цифры которых нули или образуют число, делящееся на 25 (т. е. числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75). Другие не делятся.
Пример.
7150 делится на 25 (оканчивается на 50), 4855 не делится на 25.
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 472; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!