П.2. Интеграл с переменным верхним пределом интегрирования.

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

(7)

(корректно)

Теорема 3. Если , то

Доказательство.

Значит

Теорема 4. Если , то причём

(8)

Доказательство.

при лежит между x и x + h, при

П.3. Формула Ньютона-Лейбница.

, тогда F – первообразная для f .

(9)

(10)

(10.1)

П.3. Способ подстановки в интеграле, способ интегрирования по частям.

Теорема 5. Пусть f – непрерывна на , непрерывно дифференцируема на , , F первообразная для f на . Верна формула

(11)

Теорема 6.Пусть интегрируемы на [a; b]. Тогда

(12)

Критерий Дарбу.

разбиение отрезка частичные отрезки.

интегральная сумма;

верхняя интегральная сумма Дарбу;

нижняя интегральная сумма Дарбу.

(1)

Лемма. Пусть Тогда ,

Доказательство. Очевидно, Значит,

(2)

Аналогично можно показать, что

Теорема. Для того чтобы ограниченная на функция f была интегрируема на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы

1) Из (1) следует, что

2) Пусть , учитывая (1) и (2) запишем , Значит

Аналогично можно показать, что

П.2. Об измеримых множествах.

, целиком входят в , фигура входит в объединение . фигуры ранга n. С увеличением ранга, очевидно, что могут только увеличиваться, а могут только уменьшаться.

Определение.

1) , – называем верхней и нижней мерой Жардана множества F.

2) Если – конечные числа, то множество F называется измеримым (по Жардану), а значит называется мерой Жардана множества F.

3) Будем считать

Приложение интегралов.

П.1. Длина дуги кривой.

Будем считать, что непрерывны по в . Множество будем называть непрерывной кривой на плоскости.

Если при , , , то кривую будем называть кривой без самопересечений. , при имеет самопересечения.

длина ломаной.

Считаем, гладкая кривая! Значит непрерывно дифференцируемые функции, причём .

Например. , ,

такие разности заменим по теореме Лагранжа, тогда

(1)

так как , то

(2)

Определение. Если множество для разбиения отрезка ограничено сверху, то кривую называют спрямляемой кривой. Число назовём длинной дуги кривой.

Так как с одной стороны при уменьшении (диаметра разбиения) длины ломаных увеличиваются, то ясно, что . С другой стороны, очевидно, что откуда . Кривая задана уравнением