Систематическая погрешность и ее модели
Один из «грехов» измерений обусловлен систематическими эффектами и заключается он в том, что любое принятое измеренное значение всегда отличается от неизвестного истинного значения измеряемой величины.
Рекомендованное в литературе [22] определение термина «систематическая погрешность измерений – составляющая погрешности измерений, принимаемая за постоянную или закономерно изменяющуюся» не позволяет использовать его в качестве показателя точности измерений.
Учитывая тот реальный физический смысл, который на практике вкладывается в этот показатель, для систематической погрешности можно сформулировать следующее определение.
| Систематическая погрешность – показатель качества измерений, выраженный интервалом, в котором могла бы оказаться разность между измеренным значением величины и ее истинным значением с заданной вероятностью. |
Поскольку истинное значение измеряемой величины всегда неизвестно, то рассматриваемая разность может иметь только вероятностный смысл. Поэтому отражением в результате измерений систематической погрешности возможно только интервалом с указанием доверительной вероятности.
В концепции неопределенности систематической погрешности соответствует неопределенность, определяемая способом «В» (например, вероятностным или каким-то другим способом).
Систематическая погрешность может состоять из нескольких составляющих, требующих последующего их объединения в единый показатель при представлении результата измерений. Для суммирования составляющих систематической погрешности измерений каждая отдельная неслучайная систематическая погрешность преобразуется в случайную величину, выраженную средним квадратическим отклонением σ. Поскольку реальное рассеяние величины при измерениях отсутствует, то приходится моделировать это абстрактное рассеяние математическими методами.
|
|
|
Под математической моделью систематической погрешности измерений понимают описание (функцию) распределения отклонения той доли измеренных значений относительно центра их распределения (математического ожидания измеренных значений), которые не менялись при повторных измерениях. Функция распределения этих абстрактных измеренных значений показывает, с какой вероятностью они могли бы принимать те или иные числовые значения.
В качестве вероятностной характеристики систематической погрешности используется дифференциальная функция распределения, иначе называемая плотностью вероятности. Такая модель должна быть центрированной, усеченной и одномодальной (с одним центром распределения) [9, 21].
|
|
|
В общем случае плотность вероятности р(х) есть предел отношения вероятности DF(x) того, что измеренные значения величины х находятся в интервале от х до Dх, к длине интервала Dх, когда Dх стремится к нулю:
; 
,
где F(x) – интегральная функция распределения.
Из последнего уравнения следует, что вероятность попадания измеренного значения величины х в заданный интервал (х1; х2) равна площади, заключенной под кривой р(х) между абсциссами х1 и х2. Поэтому по форме кривой плотности вероятности р(х) можно судить о том, какие х, приписываемые измеряемой величине, наиболее вероятны, а какие менее вероятны.
Вероятность попадания будущего измеренного значения величины х в интервал от -¥ до +¥ равна единице. Следовательно, попадание величины в такой интервал является достоверным событием. Однако такое утверждение никакой ценности не представляет, поскольку диапазон измеренных значений всегда ограничен. Стремятся показать обоснованный интервал для истинного значения измеряемой величины при заданной вероятности чуть менее 1.
Графики интегральной и соответствующей дифференциальной функций распределения случайной измеряемой величины х приведены на рисунке 7.
|
|
|
Рис. 7 – Интегральная F и дифференциальная p функции распределения
Использование на практике вероятностного подхода к моделированию систематической погрешности, прежде всего, предполагает выбор в качестве её модели какого-либо известного теоретического закона распределения случайной величины, например, прямоугольного, треугольного или нормального распределения плотности вероятностей.
Модель равномерной плотности распределения. Равномерное распределение имеют рассеянные показания от квантования в цифровых приборах, от округления при расчетах и отсчета показаний между соседними отметками шкалы стрелочного прибора. При измерении одной и той же величины показания совокупности однотипных средств измерений, для которых погрешности регламентированы как допускаемые, также предполагаются равномерно распределенными в установленных (нормированных) пределах. Этот закон является симметричным, одномодальным и усеченным, его выбирают в случае надежной оценки погрешности «сверху», так как СКО в этом случае принимает максимальное значение.
График плотности вероятности равномерного распределения отклонения измеряемой величины от измеренного значения показан на рисунке 8.
|
|
|
| σ[В] |
| ρ[В] |
-Δ Визм +Δ В
Рис. 8 – График плотности вероятности равномерного распределения
отклонения измеряемой величины от измеренного значения
СКО вероятных измеренных значений относительно принятого измеренного значения вычисляют по следующей формуле:
. (10)
Известно, что композиция двух равномерных законов распределения в равных интервалах описывается треугольным распределением Симпсона и неравных интервалах – трапецеидальным распределением [1, 28, 33].
Модель треугольного распределения (Симпсона). Треугольное распределение является симметричным, одномодальным и усеченным. Его можно выбирать тогда, когда заведомо известно, что при поверке и в процессе эксплуатации однотипных СИ обеспечивается их годность по погрешности с вероятностью 1. В этом случае, оценка погрешности менее надежна, так как СКО значительно меньше, чем в случае равномерного распределения.
График плотности вероятности треугольного распределения отклонения измеряемой величины от измеренного значения показан на рисунке 9.
| σ[В] |
| ρ[В] |
-Δ Визм +Δ В
Рис. 9 – График плотности вероятности распределения Симпсона
СКО вероятных измеренных значений относительно принятого измеренного значения вычисляют по следующей формуле:
. (11)
Объединенная модель распределения плотности вероятности от двух и более распределений Симпсона или четырех и более равномерных законов приближается к нормальному закону Гаусса.
Нормальное распределение. Наибольшее внимание в теории вероятности уделяется нормальному (куполообразному) закону плотности распределения, называемому часто распределением Гаусса. Широкое использование нормального распределения на практике объясняется центральной предельной теоремой теории вероятностей [11]. Утверждается, что распределение измеренных значений будет близко к нормальному всякий раз, когда они формируются под действием большого числа независимо действующих факторов. Причем, каждый из них оказывает лишь незначительное действие на разброс по сравнению с суммарным действием всех остальных факторов. Значения интегральной и дифференциальной функций нормированного нормального распределения сведены в таблицы [1, 2, 27].
Если имеются предположения об усеченном нормальном законе распределения истинного значения поправки в том же интервале ±Δ, то СКО вероятных измеренных значений относительно принятого измеренного значения вычисляют по следующей формуле:
. (12)
Нормальным законом рекомендуется пользоваться при объединении более 4-х составляющих систематической погрешности для представления результата измерений.
Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 401; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!