Собственные вектора и собственные значения матрицы.

Пусть дана матрица А

Собственным вектором матрицы А называется ненулевой вектор, для которого выполняется равенство АХ=λХ, а число λ называется собственным значением.

Для нахождения λ составляют характеристическое уравнение

АХ=λХ

Получили систему линейных однородных уравнений. СЛОУ будет иметь ненулевое решение, если определитель системы равен нулю, т.е.

Алгоритм решения линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка. Задача Коши.

Линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение потому что у и у’ входят в него линейно. Вместе с (1) рассматривается эквивалентная запись

Если , т.е. имеем или , т.е. имеем , то уравнение называется линейным однородным уравнением (ЛОДУ)

Если , то уравнение называется линейным неоднородным уравнением (ЛНДУ).

Для того, чтобы проинтегрировать ЛНДУ 1-го порядка, необходимо проинтегрировать соответствующее ему ЛОДУ 1-го порядка (т.е. решив промежуточную задачу, записав ноль в правой части), а затем применить метод Лагранжа.

1. Интегрирование ЛОДУ

Всякое ЛОДУ 1-го порядка интегрируется разделением переменных:

2. Метод Лагранжа (метод вариации постоянной)

В формуле (2) считать, что С является неизвестной функцией. Варьируем постоянную Найдем такую функцию С(х), чтобы формула (2) являлась решением ЛНДУ (1)

Подставляем

Закон является всеобщим и действует для всех ЛНДУ любого порядка

Задача Коши.Для того, чтобы из бесконечного числа решений выделить одно, необходимо дополнительное условие. Для ДУ 1-го порядка в нормальной форме: . Таким дополнительным условием является условие Коши y(x₀)=y₀ – условие Коши. А такая задача называется задачей Коши: y'=f(x,y), y(x₀)=y₀, где x_0,y₀– любые числа, начальные условия функции.

Алгоритм решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Задача Коши.

Пусть дано ДУ: . С постоянными вещественными коэффициентами . Для каждого такого уравнения можно записать соответствующее однородное уравнение:

Теорема. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения. .

1) Найдем

Рассмотрим ду: , где - вещественные постоянные. Составляем характеристическое уравнение . Пусть λ₁,λ₂ корни уравнения, причем среди них могут быть и кратные.

Возможны следующие случаи:

а) λ₁,λ₂ - вещественные и различные

Тогда ФСР уравнения (1) имеет вид и общим решением однородного уравнения будет .

б) λ₁,λ₂ - вещественные и кратные. .

ФСР , общее решение .

в) λ₁,λ₂– комплексные. . ФСР .

2) Найдем

а) метод подбора.

Общий вид правой части f(x) уравнения (*), при котором возможно применить метод подбора, следующий: где - многочлены степени e и m соответственно. В этом случае частное решение уравнения (*) ищется в виде где многочлены от х к-ой степени общего вида с неопределенными коэффициентами, а S – кратность корня характеристического уравнения.