Прямая линия на плоскости. Различные виды уравнений прямой на плоскости
Прямая, как и любая другая геометрическая фигура, состоит из точек. В фиксированной прямоугольной системе координат каждая точка прямой имеет свои координаты – абсциссу и ординату. Так вот зависимость между абсциссой и ординатой каждой точки прямой в фиксированной системе координат, может быть задана уравнением, которое называют уравнением прямой на плоскости.
Другими словами, уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy есть некоторое уравнение с двумя переменными x и y, которое обращается в тождество при подстановке в него координат любой точки этой прямой.
Виды уравнений:Уравнение прямой в отрезках, Уравнение прямой с угловым коэффициентом, Каноническое уравнение прямой на плоскости, Параметрические уравнения прямой на плоскости, Нормальное уравнение прямой.
Уравнение прямой в отрезках.
Уравнение прямой вида 
, где a и b – некоторые действительные числа отличные от нуля, называется уравнением прямой в отрезках. Это название не случайно, так как абсолютные величины чисел а и b равны длинам отрезков, которые прямая отсекает на координатных осях Ox и Oy соответственно (отрезки отсчитываются от начала координат). Таким образом, уравнение прямой в отрезках позволяет легко строить эту прямую на чертеже. Для этого следует отметить в прямоугольной системе координат на плоскости точки с координатами 
и 
, и с помощью линейки соединить их прямой линией.
Для примера построим прямую линию, заданную уравнением в отрезках вида 
. Отмечаем точки 
и соединяем их.
Параметрические уравнения прямой на плоскости.
Параметрические уравнения прямой на плоскости имеют вид 
, где 
и 
– некоторые действительные числа, причем 
и одновременно не равны нулю, а 
- параметр, принимающий любые действительные значения.
Параметрические уравнения прямой устанавливают неявную зависимость между абсциссами и ординатами точек прямой линии с помощью параметра (отсюда и название этого вида уравнений прямой).
Пара чисел 
, которые вычисляются по параметрическим уравнениям прямой при некотором действительном значении параметра , представляет собой координаты некоторой точки прямой. К примеру, при 
имеем 
, то есть, точка с координатами 
лежит на прямой.
Следует отметить, что коэффициенты и при параметре в параметрических уравнениях прямой являются координатами направляющего вектора этой прямой.
Для примера приведем параметрические уравнения прямой вида 
. Эта прямая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости проходит через точку с координатами и имеет направляющий вектор 
.
Нормальное уравнение прямой.
Если в общем уравнении прямой вида 
числа А, В и С таковы, что длина вектора 
равна единице, а 
, то это общее уравнение прямой называется нормальным уравнением прямой. Нормальное уравнение прямой определяет в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, нормальным вектором которой является вектор , причем эта прямая проходит на расстоянии 
от начала координат в направлении вектора .
Часто можно видеть другую форму записи нормального уравнения прямой: 
, где 
и 
- действительные числа, представляющие собой направляющие косинусы нормального вектора прямой единичной длины (то есть, 
и справедливо равенство 
), а величина p ( 
) равна расстоянию от начала координат до прямой.
Для примера приведем общее уравнение прямой 
. Это общее уравнение прямой является нормальным уравнением прямой, так как 
и 
. Оно в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задает прямую линию, нормальный вектор которой имеет координаты 
, и эта прямая удаленна от начала координат на 3 единицы в направлении нормального вектора 
.
Отметим, что уравнение прямой в нормальном виде позволяет находить расстояние от точки до прямой на плоскости.
Если в общем уравнении прямой числа А, В и С таковы, что уравнение не является нормальным уравнением прямой, то его можно привести к нормальному виду.
Кривые второго порядка
Кривыми второго порядка на плоскости называются линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.
Если такая плоскость пересекает все образующие одной полости конуса, то в сечении получается эллипс , при пересечении образующих обеих полостей – гипербола , а если секущая плоскость параллельна какой-либо образующей, то сечением конуса является парабола .
Кривая второго порядка на плоскости в прямоугольной системе координат описывается уравнением: 
Эллипс.Множество всех точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F 1 и F 2 есть заданная постоянная величина, называется эллипсом .
Каноническое уравнение эллипса. Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением (каноническое уравнение эллипса):
,где
Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат. Число a называют большой полуосью эллипса , а число b – его малой полуосью .
Эллипс также можно описать как фигуру, которую можно получить из окружности, применяя аффинное преобразование. Ортогональную проекцию окружность на плоскость.
Пересечение плоскости и кругового цилиндра.
Окружность — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой её центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.
Каноническое уравнение окружности.Общее уравнение окружности записывается как: 
или 
Точка
— центр окружности, R — её радиус.
Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат:
Окружность является простой плоской кривой второго порядка.
Окружность является коническим сечением и частным случаем эллипса.
Парабола.Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.
Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:
(или
, если поменять местами оси)
где р (фокальный параметр) - расстояние от фокуса до директрисы
Парабола является антиподерой прямой. Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб. При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид. Прямая пересекает параболу не более чем в двух точках.
Эксцентриситет параболы е =1.
Гипербола.Геометрическое место точек плоскости, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек есть величина постоянная, называют гиперболой .
Для любой гиперболы можно найти декартову систему координат такую, что гипербола будет описываться уравнением : 
Числа 
и 
называются соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы.
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 1279; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!