Моделирование частот наступления убытков
В соответствии с исследованиями наиболее распространенными распределениями, применяемыми для моделирования частот наступления событий операционного риска, являются отрицательное биномиальное и смеси распределений Пуассона. В рамках реализации модели LDA учтены рекомендованные Базель II упрощения касательно наличия идеальной корреляции между убытками.
Калибровка распределений. Класс (а,Ь,0)
1. Распределение Пуассона: 
Сумма 
независимых Пуассоновых случайных величин (ссоответствующими параметрами распределения 
также распределена по закону Пуассона с параметром 
.
2. Отрицательное биномиальное распределение. 
Благодаря наличию второго параметра, форма отрицательного биномиального распределения является более гибкой, что позволяет проще калибровать ее к текущему профилю операционных потерь. Оценки параметров распределений на основании метода максимального правдоподобия для распределений Пуассона и отрицательного биномиального имеют следующий вид:
Класс (a,b,0)
Определение
Дискретное распределение 
принадлежит классу 
, если существуют такие 
:
(2.8)
К классу относятся следующие распределения (Таблица 1):
Таблица 1
Распределения принадлежащие классу
| Распределение | 
| 
| 
|
| Пуассона | 
| 
| 
|
| Отрицательное биномиальное | 
| 
| 
|
| Биномиальное | 
| 
| 
|
| Геометрическое |
|
| 
|
Рекурсивную формулу 2.8 удобно использовать для подбора наиболее подходящего распределения частоты наступления событий, на основе исторических данных:
Стохастическая модель Монте-Карло аппроксимации случайной суммы
Рассмотрим совокупную величину агрегированных убытков AggLoss,
произошедших за один год:
Предполагается, что по каждой категории риска 
величины убытков 
распределены одинаково 
и попарно независимы для различных категорий . Частоты убытков распределены одинаково 
и имеют структуру зависимости, определяемую параметрами 
или RankCorr.
Пусть 
число итераций, требуемых для сходимости стохастического процесса, с точностью 
. Критерию выбора числа итераций и исследованию сходимости и устойчивости реализованной стохастической модели посвящен раздел 3.3 настоящего исследования.
На первом этапе необходимо смоделировать М коррелированных векторов 
случайных частот наступления убытков (frequency) с параметрами или RankCorr:
1. Приведем корреляцию Кендалла или Спирмена к линейной корреляции Пирсона для рассматриваемых к случайных процессов:
;
2. При помощи копулы С для корреляционной матрицы 
сгенерируем М векторов 
равномерно распределенных случайных величин с корреляционными параметрами или RankCorr.
Использованы следующие функции пакета MATLAB:
- Гауссова копула.
- t-копула Стьюдента с v-степенями свободы.
3. Выполним обратное преобразование 
и получим искомый набор зависимых векторов частот с заранее заданными параметрами корреляции или RankCorr .
На втором этапе для каждой категории риска на каждой смоделированной траектории частот возникновения убытков t необходимо получить распределение случайной суммы убытков 
1. Проведем дискретизацию распределений величин убытков методом взвешенного среднего, получим 
векторов вида: 
- число точек дискретизации.
Рассмотрим t - шаг моделирования и категорию риска 
. Вектор частот убытков на t - шаге равен 
Распределение совокупной величины убытка 
по категории риска равно: 
.
2. Воспользуемся быстрым преобразованием Фурье для оценки свертки 
функций распределений 
.
· Применим FFT (быстрое преобразование Фурье) к вектору 
- дискретизации функции распределения : 
.
· Возведем вектор 
в степень : 
.
· Применим обратное преобразование Фурье к вектору 
: 
.
В соответствие с результатами, полученными ранее, вектор g задает искомое дискретное распределение случайной суммы 
для категории риска и количества произошедших событий (на t-траектории).
3. Выполним п. 2 для каждой категории и для всех точек траектории частот: 
В результате выполнения п.З будут получены М векторов размерности [Dxk]:
задающих дискретное распределение случайных сумм для каждой точки траектории частот наступления убытков. Полученный набор векторов использован для расчета ожидаемой величины совокупного агрегированного убытка 
объема риска (показателей - VaR, ES) и величины рискового капитала (CaR).
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 256; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!