Модуль числа. Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля
Опр. |f(x)|=f(x), x>0 – модуль функции. –f(x), x<0
а , если а ≥ 0, – модуль числа
Определение: l а l=
–а, если а<0.
Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля
Способ. Использование геометрического смысла модуля.
Решить неравенство │х–2│< 3
Решение: Решениями неравенства будут числа, находящиеся на расстоянии меньше 3 от нуля модуля, равном 2.
Ответ: x є (–1;5)
Способ. Использование свойства модулей: модули противоположных чисел равны.
Если │а│=2, то а = 2 или а = – 2
Способ: Использование определение модуля числа.
а , если а ≥ 0,
Определение: l а l=
–а, если а<0.
3) Условие g(х) ≥ 0 является необходимым для существования решения уравнения │f(х)│= g (х). Но это не значит, что при условии g(х) ≥ 0 уравнение обязательно будет иметь корни.
Например, решить уравнение: │2х + 1│= х2 + 2х +4
Решение: уравнение имеет решение, если х2 + 2х +4 = (х + 2)2 ≥ 0 при любых значениях х. Найдем корни уравнения:
│2х + 1│= х2 + 2х +4
2х + 1 ≥ 0 2х – 1 < 0
2х + 1= х2 + 2х +4 – (2х + 1)= х2 + 2х +4
х ≥ –0,5 х < – 0,5
х2 + 3 = 0 х2 + 4х +5=0
нет корней
х ≥ –0,5
х2 = – 3 нет корней
Ответ: коней нет.
Способ: Решение неравенства на интервалах
1) Решить неравенство │х +1│+│х – 3│ ≤ 5 Решение: нули модуля: –1; 3.
а) х 
(–∞; –1) – (х +1) – (х – 3) ≤ 5 –х –1 –х +3 ≤ 5 –2х ≤ 3 х ≥ –1,5
х [–1,5; –1)
б) х [ –1; 3) х + 1 – (х –3) ≤ 5 х + 1 – х +3 ≤ 5 0*х ≤1 , х любое число
х [ –1; 3)
в) х [ 3; +∞) х+1 + х –3 ≤ 5 2х ≤ 7 Х ≤ 3,5 
х [ 3; 3,5]
Итак: 
Ответ: х [ –1,5; 3,5]
Методы решения
1)модуль меньше числа |f(x)|<=a
f(x)<=a
f(x)>a
f(x)< –a
3)модуль меньше функции |f(x)|<g(x)
g(x)>=0
f(x)<g(x)
f(x)> –g(x)
4)модуль больше функции |f(x)|>g(x)
f(x)>g(x)
f(x)< –g(x)
5.Уравнения. Равносильные уравнения. Уравнения–следствия.
Теоремы о равносильных преобразованиях уравнений
Уравнение – это математическое утверждение, записываемое в виде равенства двух буквенных выражений с переменными, которое истинно при одних значениях переменных и ложно при других их значениях.
Решить уравнение – значит найти все значения переменных, при которых это утверждение превращается в верное числовое равенство, или доказать, что таких значений не существует.
Уравнением с одним неизвестным 
называется равенство 
(где 
заданные функции), в котором требуется найти все значения , при которых данное равенство является верным. Функция 
называется левой частью, а 
– правой частью уравнения. В частности, может быть 
.
Областью определения уравнения называется множество всех значений переменной , при которых одновременно имеют смысл и левая, и правая части уравнения. Область определения уравнения определяется пересечением областей определения функций и .
Корнем (или решением) уравнения называется всякое число 
, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство 
. Уравнение может иметь один, два, три и большее число корней, а также бесконечное их множество или не иметь корней вовсе.
Замечание. Решение уравнения считается правильным только в том случае, если найдены все корни уравнения и в процессе решения убедительно доказано, что множество корней именно такое, как указанно в ответе. В частности, метод «угадывания» корней считается правильным, если доказано, что других корней нет.
Уравнение вида 
, где 
называется уравнением с параметром 
, если ставиться задача для каждого значения параметра найти множество его корней 
. В общем случае каждый корень уравнения зависит от значения параметра: 
.
Процесс решения уравнения – это последовательность некоторых преобразований, производимых над левой и правой частями уравнения и позволяющих заменить данное уравнение другим уравнением, решение которого известно или очевидно.
Пусть в процессе решения уравнения 
было получено уравнение 
. Говорят, что при этом произошла потеря корней, если существует хотя бы одно число 
, которое является корнем исходного уравнения, но не является корнем уравнения .
Если преобразование уравнений может привести к потере корней, необходимо отдельно рассмотреть «выпадающие» в результате выполнения этого преобразования значения переменных, проверив их на принадлежность к множеству решений.
Число 
называется посторонним корнемуравнения , если оно, являясь корнем уравнения , не является корнем исходного уравнения.
Равносильными называются два уравнения и , если они имеют одно и то же множество решений (или оба они не имеют корней). Равносильность обозначается символом 
: 
.
Уравнения называются равносильными на некотором множестве 
значений неизвестной, входящем в области определения уравнений, если они имеют одни и те же решения, принадлежащие множеству .
Если все корни уравнения являются корнями уравнения (при этом области определения уравнений могут не совпадать), то второе уравнение называют уравнением–следствием первого и пишут 
.
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 652; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!