Точка пересечениямедиантреугольника есть центром тяжести треугольника.

Контрольная работа «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»

Задание 1.

Вычислить определитель.

Решение:

Для удобства подсчета определителя выберем 1 столбец и разложим определитель по нем с помощью теоремы Лапласа:

Найдем каждыйминор по отдельности:

Тогда:

Задание 2.

Решить систему линейных уравнений тремя способами:

а) методом Гаусса;

б) по формулам Крамера;

в) с помощью обратной матрицы.

Решение:

По формулам Крамера:

а) Найдем определительосновнойматрицы:

= = , то заданая за теоремой Крамера СЛАУ иммеетединноерешение.

Найдем определители полученные из определителя , заменой соответствующего1-ого, 2-ого, 3-ого столбика столбиком свободных переменных :

= ,

= ,

= .

За формулой Крамера:

Ответ: ( ; ; ).

Решение.

а) Випишемрасширенуюматрицу і сведем ее к треугольному виду:

Последний вид расширеннойматрицыимеет вид:

;

Ответ: ( ; ; ).

А = ; Х = ; B= , тогда в матричной форме СЛАУ задаётся уравнением АХ = В. Определитель = , поэтому матрица А имеет обратную матрицу . Найдём :

Найдем алгебраическиедополнения к каждому елементу заданойматрици А :

, ,

, ,

, ,

, ,

.

Составимматрицуалгебраическихдополнений А* ( присоединенную к А):

.

Обратнаяматрица : .

За формулой: : Х = .

Ответ: ( ; ; ).

Задание 3.

Решитьматричноеуравнение . Ответ проверить подстановкой в уравнение.

Решение:

Cведем наше уравнение к виду: . Для этого образуем матрицу путем решения уравнения:

Теперь матричное уравнения запишется в виде:

Вычислим определитель матрицы А:

∆ = (-4)*4 - (-4)*1 = -12

Определитель матрицы А равен detA=-12

Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A^-1. Умножим слева обе части уравнения на A^-1:Умножаем обе части этого равенства слева на A^-1 и справа на B^-1: A^-1·A·X·B·B^-1 = A^-1·F·B^-1. Так как A·A^-1 = B·B^-1 = E и E·X = X·E = X, то X = A^-1·F·B^-1.

Найдем обратную матрицу A^-1.

Вычислим определитель матрицы B:

∆ = 0*(-5) - 4*5 = -20

Определитель матрицы B равен detB = - 20.

Найдем обратную матрицу B^-1.

Матрицу X ищем по формуле: X = A^-1·F·B^-1

Проверим правильность уравнения:

Задание 4.

На плоскости даны точки Сделать чертеж

а) длину и уравнение ребра ВС (записать общее, каноническое, параметрические уравнения, а также уравнения в отрезках и с угловым коэффициентом, если это возможно);

б) косинус угла А;

в) уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно стороне ВС;

г) высоту, проведенную к стороне ВС, и ее уравнение;

д) уравнение медианы, проведенной к стороне ВС;

е) координаты центра и радиус описанной окружности;

ж) площадь треугольника;

з) центр тяжести треугольника.

Решение:

а) Длину и уравнение ребра ВС (записать общее, каноническое, параметрические уравнения, а также уравнения в отрезках и с угловым коэффициентом, если это возможно):

Найдем вектор ВС:

= ( – 11 – 1 ;7–2 ) → = ( – 12; 5 ) .

Длина стороны ВС:

Уравнения прямой ВС:

Уравнение прямой, которой принадлежит сторона ВС: = , откуда:

, либо 12у + 5х – 29 = 0, либо , откуда угловой коэффициент прямой равен k = .Уравнение в отрезках на осях:

б) Косинус угла А;

Найдем косинус угла А:

= , где координаты соответствующих нормальных векторов = = ( 0; 11) ; = = (–12; 16) .. Тогда:

в) Уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно стороне ВС;

Уравнение прямой NA параллельной BC находится по формуле:

Подставляя , получим:

г) Высоту, проведенную к стороне ВС, и ее уравнение;

Составим уравнение высоты АD:

Прямая АD ВС, поэтомувоспользуемсяуравнениемпрямой, котораяпроходит через точку А( 1 ; –9) перпендикулярно к вектору = ( 5 ;–12) . УравнениевысотыАDбудет :

5( х–1 ) –12 ( у +9 ) = 0 либо 12х–5у–57 = 0 .

д) Уравнение медианы, проведенной к стороне ВС;

Составим уравнение медианы АЕ:

Точка Е делит сторону ВС пополам, поэтому Е . Воспользуемся уравнением прямой, которая проходит через точки и :

, либо 4y+9х + 27 = 0.

е) Координаты центра и радиус описанной окружности;

Центр описанной окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Найдем уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника и их угловые коэффициенты:

Координаты середин сторон:

Угловые коэффициенты перпендикулярных прямых имеют обратную пропорциональность:

Уравнения серединных высот:

Решим систему:

Найдем длину, как расстояние от центра к любой из точек:

Найдем вектор АО:

= ( 1+ 8,33 ; –9+ 3,5 ) → = ( 9,33; – 5,5 ) .

Длина стороны ВС:

Тогда уравнение окружности:

ж) Площадь треугольника;

Найдем площадь треугольника:

Посчитаем площу грани :, какплощадьтреугольника , используя модуль векторного произведения векторов и :

S_ABC = S_▲ABC = ½ .= = = 66.

з) Центр тяжести треугольника.

Точка пересечениямедиантреугольника есть центром тяжести треугольника.

Точка Е делит сторону ВС пополам, поэтому Е . Воспользуемся уравнением прямой, которая проходит через точки и :

, либо 4y+9х + 27 = 0.

Точка R делит сторону AС пополам, поэтому R . Воспользуемся уравнением прямой, которая проходит через точки и :

, либо 2y-х -3 = 0.

Решимсистему издвухуравнений:

В итоге, точка Q ( ; ) является центром тяжести треугольника.

Задание 5

Приведете уравнений кривой к каноническому виду и выполните чертеж.

7 y = 2x2 + 4x + 3 9x2 -16 y2 - 54x - 64 y - 127 = 0

Решение:

Сведем уравнение к каноническому виду:

Получили уравнение параболы с центром в точке ( -1; 1) и параметром p = 0.25.

Сведем уравнение к каноническому виду:

Получили уравнение гиперболы с центром в точке ( 3; -2) и полуосями a = 4 и b = 3.

Задание 6.

В пространстве даны точки:

Сделать схематично чертеж пирамиды SABC и найти:

а) длину и уравнения ребра АВ;

б) площадь и уравнение грани АВС;

в) высоту, проведенную из вершины S к грани АВС, и ее уравнения;

г) проекцию вершины S на плоскость АВС;

д) уравнения проекции ребра АS на грань АВС;

е) уравнения прямой, проходящей через вершину S параллельно ребру АВ;

ж) уравнение плоскости, проходящей через вершину S параллельно грани АВС;

з) угол между ребрами АВ и AS;

и) угол между ребром AS и гранью АВС;

к) угол между гранями АВС и АВS;

л) координаты центра тяжести пирамиды АВСS;

м) объем пирамиды АВСS.

Решение:

а) Длину и уравнения ребра АВ;

Найдем кординатывекторов , , , :

= (3+2; 2+1 ; 1– 1 ) = ( 5 ; 3 ; 0 ) .

= (5+2; 2+1 ; 1– 1) = ( 7 ; 3 ; 0 ) .

= (1+2; – 1+1 ; 0– 1) = ( 3 ; 0 ; –1 ) .

Длинавекторов:

б) Площадь и уравнение грани АВС;

Найдем площадь грани с учётомгеометрическогосмысла векторного произведения:

Векторноепроизведение:

=

S = S_▲ = = =
= = = 3.

В уравнениеплоскости за тремя точками вставим координатыточек:

.

Имеем:

– искомоеуравнениеплоскости.

в) Высоту, проведенную из вершины S к грани АВС, и ее уравнения;

Прямая, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:

Уравнение плоскости ABC: - z + 1 = 0

е) Уравнения прямой, проходящей через вершину S параллельно ребру АВ;

ж) Уравнение плоскости, проходящей через вершину S параллельно грани АВС;

Плоскость, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и параллельнаяплоскостиAx + By + Cz + D = 0 имеетнаправляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляетсяуравнением:

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀) = 0

Уравнениеплоскости ABC: - z + 1 = 0

0(x-1)+0(y-(-1))-1(z-0) = 0или0x+0y-z+0 = 0илиz = 0 .

з) Угол между ребрами АВ и AS;

Уголмежду векторами a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂) можно найти по формуле:

Найдем уголмежду ребрами AB(5;3;0) и AS(3;0;-1):

γ = arccos(0.813) = 35.563⁰

и) Угол между ребром AS и гранью АВС;

Синус угламеждупрямой с направляющимикоэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле:

Уравнениеплоскости ABC: - z + 1 = 0, уравнениепрямой AS:

γ = sin(0.316) = 18.422^o

к) Угол между гранями АВС и АВS;

Косинус угламеждуплоскостью A₁x + B₁y + C₁ + D = 0 и плоскостью A₂x + B₂y + C₂ +D = 0 равенуглумеждуихнормальными векторами N₁(A₁, B₁, C₁) и N₂(A₂, B₂, C₂):

Уравнениеплоскости ABC: - z + 1 = 0

Уравнениеплоскости ABD: -3x + 5y - 9z + 8 = 0

γ = cos(0.83) = 33.902^o

м) Объем пирамиды АВСS.

Посчитаемобъемпирамиды, построенной на векторах , и , используя модуль произведения векторов:

V_{пирамиды} = = = ( ед³) .

Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 167; Мы поможем в написании вашей работы!
Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!