Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
Если в интеграл 
вместо функции 
подставить ее интерполирующий многочлен Лагранжа 
, то получим семейство квадратурных формул Ньютона-Котеса
.
Для равноотстоящих узлов полином Лагранжа будет:
,
где 
– шаг интерполяции, 
, 
тогда:
;
; 
.
Здесь 
– коэффициенты Ньютона-Котеса. Они не зависят от , а зависят только от числа узлов интерполяции 
, следовательно
, 
;
, 
;
, 
;
, 
.
Тогда формула Ньютона-Котеса имеет вид:
.
Частный случай 
:
;
, 
,
– формула трапеций.
Частный случай 
, 
:
, 
,
, 
– формула Симпсона. Аналогично при 
получим формулу трех восьмых:
.
Погрешность формулы трех восьмых на шаге 
.
Экстраполяция по Ричардсону
Пусть 
– два приближенных значения интеграла 
, вычисленных по одной и той же формуле при 
и 
. Тогда более точное значение этого интеграла можно найти:
,
где m – порядок погрешности на одном шаге выбранной формулы.
Для формулы трапеций m = 2, формулы Симпсона – m = 4.
Квадратурные формулы Гаусса, Чебышева
Общий вид квадратурной формулы:
(3.1)
здесь 
– узлы интегрирования, 
– весовые функции. Определенный интеграл приближенно равен средневзвешенному значений подынтегральной функции, вычисленных в определенных точках промежутка интегрирования.
В предыдущих квадратурных формулах брались равноотстоящие узлы с шагом 
, и весовые коэффициенты получались заменой подынтегральной функции на кусочно-постоянную (формула прямоугольников), кусочно-линейную (формула трапеций), кусочно-квадратичную ( формула Симпсона).
Для получения более точных формул откажемся от равномерного распределения узлов. Удобно сделать замену:
, 
тогда интеграл по произвольному промежутку 
преобразуется в интеграл по стандартному промежутку 
:
.
Таким образом, без потери общности можно рассматривать интеграл:
, (3.2)
здесь – число узлов интегрирования.
В выражение для погрешности квадратурных формул входит производная некоторого порядка от функции, т. к. производная порядка 
равна нулю 
для полинома степени 
, то квадратурная формула верна для многочленов степени (k – 1). Например, формула односторонних прямоугольников точна для полиномов нулевого порядка, 
; формула центральных прямоугольников – для линейных полиномов, формула трапеций – для линейных полиномов, 
; формула Симпсона – для кубических полиномов, 
.
Потребуем, чтобы квадратурная формула (3.2) была точна для полинома степени , где – число узлов.
Формула Чебышева
Пусть все весовые коэффициенты равны 
. Получим формулу Чебышева, точную для полиномов степени . Считая, что равенство (3.2) будет точным для функций 
, имеем: 
, тогда квадратурная формула примет вид:
. (3.3)
Подставим в формулу (3.3) 
и, считая равенство (3.3) точным, получим уравнение : 
.
Подставляя поочередно 
, получим систему уравнений:
(3.4)
Доказано, что эта специфическая система уравнений с неизвестными (3.4) определяет единственный набор 
при 
. Эти узлы вычислены с высокой точностью и затабулированы. При 
и 
система (3.4) не имеет действительных решений.
Формула Гаусса
Рассмотрим общий вид квадратурной формулы (3.2). В ней неизвестными являются 
параметров: 
узлов 
и весовых коэффициентов .
Подберем и так, чтобы равенство 
было точным для полиномов степени 
или для степенных функций:
.
Подставляя в точное равенство (3.2) поочередно эти функции, получим:
(3.5)
Решение системы (3.5) весьма затруднительно, но, оказывается, узлами квадратурной формулы в этом случаеявляются корни полиномов Лежандра 
, которые принадлежат интервалу 
и расположены симметрично относительно начала координат, а веса находятся интегрированием базисных многочленов Лагранжа 
степени 
:
. (3.6)
Напомним, что полиномы Лежандра определяются рекуррентной формулой Родрига:
и являются ортогональными полиномами с весом 
на отрезке
Докажем, что при таких и формула (3.2) будет точна при подстановке в нее вместо 
любого многочлена степени .
Пусть 
. Согласно теореме о делении полинома 
на полином 
с остатком, существуют такие полиномы 
и 
, что:
.
Подставим это выражение в левую часть формулу (3.2).В силу линейной независимости полиномов Лежандра 
и их попарной ортогональности всегда найдется набор 
, таких, что
,
тогда
,
. (3.7)
Теперь преобразуем правую часть формулы (3.1):
,
здесь 
– базисный многочлен Лагранжа. Покажем, что при таком формула будет точна:
.
В левой части последнего равенства под интегралом стоит интерполяционный многочлен Лагранжа степени , составленный по значениям 
, который в силу своей единственности однозначно восстанавливается интерполированием. Тогда верно точное равенство:
.
Отсюда ясно, что указанные значения и являются узлами и весовыми коэффициентами квадратурной формулы Гаусса.
Запишем теперь общую квадратурную формулу для интеграла по промежутку :
.
Оценка погрешности квадратурных формул Гаусса, Чебышева говорит о существенно более быстром убывании погрешности с ростом числа узлов для достаточно гладких интегрируемых функций. При 
существуют таблицы (см. табл.3.1).
Таблица 3.1.
|
| Формула Чебышева | Формула Гаусса | ||
|
| 
|
|
| |
| 2 |  0,577350
| 1 | 0,577350
| 1 |
| 3 | 0
0,707107
| 
| 0
0,774597
| 
|
| 4 | 0,187592
0,794654
| 
| 0,339981
0,861136
| 0,652145 0,347855 |
| 5 | 0
0,374541
0,832497
| 
| 0
0,538469
0,906180
| 0,568889 0,478629 0,236927 |
В практикуме рассмотрены примеры вычисления интегралов по квадратурным формулам прямоугольников, трапеций, Симпсона, формулам Гаусса и Чебышева для 
с помощью вычислительного пакета Mathcad. Очевидно, что использование формул Гаусса и Чебышева позволяет достичь высокой точности при существенно меньшем объеме вычислений в сравнении с другими квадратурными формулами.
Метод Монте-Карло
Метод статистических испытаний, или метод Монте-Карло использует статистико-вероятностный подход к вычислению определенных интегралов.
Рассматривается некоторая случайная величина 
, математическое ожидание которой равно искомой величине 
:
.
Проводится серия независимых испытаний, в результате которых генерируется последовательность случайных чисел 
, имеющих то же распределение, что и . Находится выборочное среднее 
, которое является статистической оценкой 
, при этом
.
Пусть 
равномерно распределенная на отрезке 
случайная величина. Это означает, что ее плотность распределения задается:
тогда любая функция 
также будет случайной величиной, и ее математическое ожидание равно
.
Читая это равенство в обратном порядке, получаем, что интеграл 
может быть вычислен как оценка математического ожидания некоторой случайной величины , которая является функцией случайной величины 
с равномерным законом распределения, причем оценка определяется независимыми реализациями 
случайной величины :
или для интеграла общего вида
, 
.
Погрешность метода 
.
Рулетка Монте-Карло – простейший генератор случайных чисел.
Для использования метода Монте-Карло необходимо генерировать последовательности случайных чисел с заданным законом распределения. Способы генерирования: разработаны алгоритмы генерирования случайных чисел, датчики случайных чисел, реализованные в виде программ.
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 707; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!