Спектральна щільність аналітичного сигналу
Nbsp; НАВЧАЛЬНО-МАТЕРІАЛЬНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ: Навчальна література: 1. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепы и сигналы. - М.: Сов. радио, 1986. - 608с. с.93-103. 2. Баскаков С.И. Радиотехнические цепы и сигналы: Учеб. для вузов по спец. «Радиотехника». - М.: Высш. Шк., 1988- 448с. с.124-133. 3. Волощук Ю. І. Сигнали та процеси в радіотехніці. Харьків: СМТТ. Т1,2003. с 237...245. Наочне та навчальне приладдя: 1. Виставка літератури. 2. Технічні засоби навчання: 1. ЛЕТІ (Лектор 2000). 2. Мультимедійні засоби.
ПЛАН ЛЕКЦІЇ
| № з/п | Навчальні питання | Час, хв. |
| 1. | ВСТУПНА ЧАСТИНА Прийняття доповіді чергового групи. Перевірка наявності курсантів і їх готовності до заняття. Оголошення теми, рекомендованої літератури, навчальних питань заняття та порядку їх відпрацювання | 5 |
| 2. | ОСНОВНА ЧАСТИНА | 80 |
| 1 питання. Аналітичний сигнал. | 30 | |
| 2 питання. Спектральна щільність аналітичного сигналу. | 20 | |
| 3 питання. Перетворення Гільберта. | 30 | |
| 3. | ЗАКЛЮЧНА ЧАСТИНА Підведення підсумків, відповіді на запитання, завдання на самостійну роботу | 5 |
Вступ
По визначенню, сигнал називається вузькосмуговим, якщо його спектральна щільність відмінна від нуля лише в межах частотних інтервалів шириною П, яка утворюється біля точок 
, причому повинна виконуватися умова 
|
|
|
Як правило, можна вважати що частота 
, яка називається опорною частотою сигналу,збігається із центральною частотою спектра. Однак у загальному випадку вибір її досить довільний.
Найбільш загальну математичну модель вузькосмугового сигналу можна отримати, склавши лінійну комбінацію виду
 .
| (1.219) |
Функцію 
прийнято називати синфазною амплітудою вузькосмугового сигналу 
при заданому значенні опорної частоти , а функцію 
− його квадратурною амплітудою.
Уведемо комплексну низькочастотну функцію
 ,
| (1.221) |
яка має назву комплексної обвідної вузькосмугового сигналу та маємо.
 .
| (1.222) |
Таким чином, комплексна обвідна щодо вузькосмугового сигналу відіграє ту ж роль, що й комплексна амплітуда щодо простого гармонічного коливання. Однак, комплексна обвідна загалом залежить від часу – вектор 
здійснює на комплексній площині деякий рух, змінюючись як за модулем, так і за напрямком
Формулу (1.221), що визначає комплексну обвідну можна подати також у показниковій формі:
| (1.223) |
Тут 
− дійсна ненегативна функція часу, яка названа фізичною обвідною (часто, для стислості, просто обвідною), 
− повільно змінна у часі початкова фаза вузькосмугового сигналу.
|
|
|
Величини 
зв'язані із синфазною та квадратурною амплітудами співвідношеннями:
| (1.224) |
звідки виходить ще одна корисна форма запису математичної моделі ВСС:
 .
| (1.225) |
Вводячи повну фазувузькосмугового коливання 
можна визначити миттєву частоту сигналу, яка дорівнює похідній за часом від повної фази:
 .
| (1.226) |
Відповідно до формули (1.225) вузькосмуговий сигнал загального виду являє собою складне коливання, яке отримується при одночасній модуляції несучого гармонічного сигналу як за амплітудою, так і за фазовим кутом.
Аналітичний сигнал
Нижче буде описаний ще один спосіб комплексного подання сигналів, який часто застосовується у теоретичних дослідженнях. Чудова особливість даного способу полягає в тому, що він дозволяє вводити поняття обвідної та миттєвої частоти сигналу без того ступеня невизначеності, який властивий методу комплексної обвідної.
Формула Ейлера 
, яка є гармонічним коливанням як сума двох комплексно-спряжених функцій, наводить на думку про те, що довільний сигнал з відомою спектральною щільністю 
можна записати як суму двох складових, кожна з яких має або тільки позитивні, або тільки негативні частоти:
|
|
|
| (1.231) |
Іноді кажуть, що формула (1.231) здійснює процедуру поділу частот.
Функція
| (1.232) |
називається аналітичним сигналом, яка відповідає дійсному коливанню .
Перший з інтегралів у правій частині формули (1.231) шляхом заміни змінної 
перетвориться до вигляду
|
Тому формула (1.231) встановлює зв'язок між сигналами та 
, або
 .
| (1.233) |
Уявна частина аналітичного сигналу
 .
| (1.234) |
називається спряженим сигналомщодо вихідного коливання .
Отже, аналітичний сигнал
 .
| (1.235) |
на комплексній площині відображається вектором, модуль та фазовий кут якого змінюються у часі (рис. 1.120). Проекція аналітичного сигналу на дійсну вісь у будь-який момент часу дорівнює початковому сигналу .
Уведення аналітичного та спряженого сигналів, безумовно, не дозволяє отримати яких-небудь нових відомостей, які не були б у математичній моделі сигналу . Однак ці нові поняття відкривають прямий шлях до створення систематичних методів дослідження вузькосмугових коливань.
|
|
|
На конкретному прикладі покажемо спосіб обчислення аналітичного сигналу за відомим спектром початкового сигналу.
Наприклад 1.29. Нехай – ідеальний низькочастотний сигнал з відомими параметрами 
та 
(рис. 1.121).
У цьому випадку аналітичний сигнал
Виділяючи дійсну та уявну частини, отримаємо 
(результат, відомий раніше), 
.
Графіки цих двох сигналів наведені на рис. 1.122. Зауважимо, що спряжений сигнал має значення нуля у точці, де початковий сигнал досягає максимуму.
Спектральна щільність аналітичного сигналу
Дослідимо спектральну щільність аналітичного сигналу, тобто функцію 
, що пов'язана з 
перетворенням Фур'є:
|
За формулою (1.232) виходить, що ця функція відмінна від нуля лише в області позитивних частот:
 .
| (1.236) |
Якщо 
– спектральна щільність спряженого сигналу, то через лінійність перетворення Фур'є маємо
 .
| (1.237) |
Тому рівність (1.236) буде виконуватись тільки тоді, коли спектральні щільності початкового та спряженого сигналів між собою пов'язані у такий спосіб:
| (1.238) |
Абстрактно можна уявити собі такий спосіб отримання спряженого сигналу (рис. 1.123): початкове коливання подається на вхід деякої системи, яка здійснює зміну фаз усіх спектральних складових на кут –90° в області позитивних частот та на кут 90° в області негативних частот, не змінюючи їх за амплітудою. Систему, яка наділена подібними властивостями, називають квадратурним фільтром.
Перетворення Гілберта
Формула (1.238) показує, що спектральна щільність спряженого сигналу є добуток спектра початкового сигналу та функції 
. Тому спряжений сигнал являє собою згортку двох функцій: та 
, яка є зворотним перетворенням Фур'є щодо функції [2].
Для зручності обчислень подамо цю функцію у вигляді границі (рис. 1.124):
 .
|
Тоді
 .
|
Множенням на експонентний множник забезпечуємо абсолютну інтегрованість функції та існування зворотного перетворення Фур'є.
Отже, спряжений сигнал пов'язаний з початковим сигналом співвідношенням
 .
| (1.239) |
Можна зробити і по-іншому, виразивши сигнал 
через 
, який вважається відомим. Для цього досить зауважити, що з (1.238) випливає такий зв'язок між спектральними щільностями:
 .
|
Тому відповідна формула буде відрізнятися від (1.239) лише знаком:
 .
| (1.240) |
Формули (1.239) і (1.240) відомі в математиці за назвою прямого та зворотного перетворень Гілберта. Символічний запис їх такий:
 .
| (1.241) |
Оскільки функція 
, яка названа ядром цих перетворень, має розрив при 
, інтеграли (1.239) і (1.240) слід розуміти в змісті головного значення. Наприклад:
 .
|
Властивості перетворень Гілберта.Найпростіша властивість цих інтегральних перетворень − їх лінійність:
|
за будь-яких постійних 
і 
, у чому можна переконатися безпосередньо.
Ядро перетворення Гілберта є непарною функцією аргументу 
щодо точки , а, звідси, сигнал, спряжений до константи, тотожно дорівнює нулю:
 .
|
Важлива властивість перетворення Гілберта полягає в наступному: якщо при будь-якому 
початковий сигнал досягає екстремуму (максимуму або мінімуму), то в околі цієї точки спряжений сигнал проходить через нуль. Щоб переконатись у цьому, потрібно на одному кресленні сумістити графіки 
та ядра 
. Нехай значення близьке до такого , при якому функція екстремальна. Оскільки сигнал є тут парною функцією, а ядро непарною, буде спостерігатися компенсація площ фігур, обмежених горизонтальною віссю та кривою, що описує підінтегральну функцію перетворення Гілберта. Образно кажучи, якщо початковий сигнал змінюється у часі «подібно косинусу», то спряжений з ним сигнал буде змінюватися «подібно синусу» (рис. 1.125).
Відзначимо, що перетворення Гілберта мають нелокальний характер: підведення спряженого сигналу в околі будь-якої точки залежить від властивостей початкового сигналу на всій осі часу, хоча найбільший внесок дає, звичайно, досить близький окіл розглянутої
точки.
Перетворення Гілберта для гармонічних сигналів. Розрахуємо сигнали, спряжені з гармонічними коливаннями 
та 
. Результати можна отримати безпосередньо з формули (1.240). Однак простіше зробити так. Нехай деякий довільний сигнал заданий своїм Фур'є - перетворенням:
. (1.242)
Тут функція 
подана за формулою Ейлера.
На підставі співвідношення (1.238) знаходимо аналогічне подання спряженого сигналу:
| (1.243) |
Розглядаючи формули (1.242) і (1.243) спільно, знаходимо наступні закони перетворення Гілберта:
| (1.244) |
Перетворення Гілберта для вузькосмугового сигналу.Нехай відома функція 
− спектральна щільність комплексної обвідної вузькосмугового сигналу з опорною частотою 
. Згідно з формулою (1.230), спектр даного сигналу
 .
| (1.245) |
Перший доданок правої частини відповідає області частот 
, другий 
. Тоді на підставі формули (1.238) спектр
спряженого сигналу
 ,
| (1.246) |
звідки видно, що спектральна щільність комплексної обвідної спряженого сигналу
 .
| (1.247) |
Отже, спряжений сигнал у цьому разі також є вузькосмуговим. Якщо комплексна обвідна початкового сигналу
 ,
|
то відповідно до рівності (1.247) комплексна обвідна спряженого
сигналу
|
відрізняється від комплексної обвідної початкове коливання лише наявністю постійного фазового зміщення на 90° убік запізнювання.
Звідси виходить, що вузькосмуговому сигналу
| (1.248) |
відповідає спряжений за Гілбертом сигнал
 .
| (1.249) |
Обчислення обвідної, повної фази та миттєвої частоти.Згідно з методом перетворень Гілберта, обвідна та миттєва частота сигналу жорстко зв'язана один з одним і їх не можна вибирати довільно. У рамках методу перетворень Гілберта, обвідна 
довільного сигналу визначається як модуль відповідного аналітичного сигналу:
 .
| (1.250) |
Доцільність такого визначення можна перевірити на прикладі вузькосмугового сигналу. Використовуючи формули (1.248) і (1.249), знаходимо, що обвідна такого сигналу
 .
|
У п. 1.5.3 дана формула була отримана з інших міркувань.
За визначенням, повна фаза будь-якого сигналу дорівнює аргументу аналітичного сигналу 
:
 .
| (1.251) |
Нарешті, миттєва частота 
сигналу є похідна повної фази за часом:
 .
| (1.252) |
Однак, у разі довільного сигналу не можна вимагати, щоб обвідна та миттєва частота мали наочний фізичний зміст.
Розглянемо приклади, що ілюструють обчислення зазначених характеристик вузькосмугових сигналів.
Приклад 1.30. Маємо гармонічне коливання 
.
У цьому випадку спряжений сигнал 
. Обвідна вихідного сигналу 
, звичайно, не залежить від часу та дорівнює його амплітуді. Повна фаза 
й, нарешті, миттєва частота 
. Даний приклад показує, що визначення обвідної, повної фази та миттєвої частоти через перетворення Гілберта приводить до результатів, що узгоджуються зі звичайними представленнями про властивості гармонічних коливань.
Приклад 1.31. Коливання є сумою двох гармонічних складових з різними амплітудами та частотами:
 .
|
Оскільки
 ,
|
обвідна такого сигналу змінюється в часі за законом
 .
|
Повна фаза сигналу
 .
|
Для обчислення миттєвої частоти слід скористатися формулою (1.252), яка призводить до такого результату:
 .
|
Миттєва частота змінюється в часі. Це пов'язано з тим, що у цьому разі фаза результуючого вектора, що відображає суму двох гармонічних коливань, змінюється з різною швидкістю залежно від того, як орієнтовані один до одного вектори, які додаються (рис.1.126).
Приклад 1.32. Розглянемо ідеальний смуговий сигнал , спектр якого при відмінний від нуля лише на відрізку 
(рис. 1.127).
Відповідний аналітичний сигнал
Обвідна вихідного смугового сигналу
|
Миттєва частота сигналу
Виконавши нескладні перетворення, знаходимо, що в цьому випадку 
не залежить від часу та дорівнює центральній частоті інтервалу, у якому зосереджений спектр.
Отже, знаючи аналітичний сигнал, можна однозначно визначати обвідну та миттєву частоту вузькосмугового коливання. Більш того, формули (1.250) − (1.252) зберігають зміст щодо сигналів довільного вигляду, що не обов'язково задовольняють умовам квазігармонічності (вузькосмуговості).
Висновки
1. Сигнали з обмеженим спектром нескінченно тривалі у часі.
2. Найпростіші сигнали цього класу − ідеальний низькочастотний та ідеальний смуговий, які спостерігаються на виходах відповідних ідеальних фільтрів, що збуджуються дельта-імпульсами.
3. Два ідеальні низькочастотні сигнали стають ортогональними за відповідним вибором зсуву за часом.
4. Ряд Котельникова є окремим випадком узагальненого ряду Фур'є.
5. Базисними функціями ряду Котельникова є ідеальні низькочастотні сигнали, зміщені за часом один щодо іншого на інтервали, що кратні величині 
.
6. Коефіцієнтами ряду Котельникова служать відліки сигналу, який розкладається, узяті через рівні проміжки часу.
7. Якщо в спектрі сигналу відсутні складові з частотами вище 
то ряд Котельникова дає точне (у середньоквадратичному змісті) подання сигналу.
8. Ширина спектра вузькосмугового сигналу значно менша центральної частоти. Вузькосмугові сигнали є квазігармонічними – їх амплітуда та частота у загальному випадку повільно змінюються за часом.
9. Поняття комплексної обвідної узагальнює поняття комплексної амплітуди у разі вузькосмугових сигналів.
10. Фізична обвідна дорівнює модулю комплексної обвідної. Її вигляд не залежить від вибору опорної частоти сигналу.
11. Миттєва частота вузькосмугового сигналу є сума опорної частоти та похідної за часом від аргументу комплексної обвідної.
12. Спектр вузькосмугового сигналу отримується шляхом переносу спектра його комплексної обвідної на відрізок, який чисельно дорівнює значенню опорної частоти.
13. Кожному дійсному сигналу може бути представлений комплексний аналітичний сигнал, що має спектральні складові лише в області позитивних частот.
14. Дійсна частина аналітичного сигналу дорівнює початковому сигналу. Уявна частина його називається спряженим сигналом.
15. Зв'язок між початковим та спряженим сигналами встановлюється парою інтегральних перетворень Гілберта.
16. Найпростіша властивість інтегральних перетворень Гілберта − їх лінійність.
17. Обвідна довільного сигналу дорівнює модулю відповідного аналітичного сигналу.
18. Миттєва частота визначається як похідна від аргументу аналітичного сигналу.
Заключна частина
На сьогоднішнім занятті були вивчені питання:
поняття аналітичного сигналу, його подання у часовій та частотній областях;
особливості перетворення Гільберта.
Підводжу підсумки заняття.
Даю завдання на СП.
Доцент кафедри РТС
кандидат технічних наук
О.Рихальський
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 590; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!