Пример 6.3. Обоснование состава ремонтной бригады

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 4

1. Вопрос для проверки уровня «ЗНАТЬ» – 0 или 1 или 2 балла:

Линейное программирование. Принятие решений с использованием симплекс – метода.

2. Задание для проверки уровня «УМЕТЬ» - 0 или 1 или 2 балла:

Привести пример обоснования оптимального решения с использованием критерия Ходжа-Лемана.

3. Задание для проверки уровня «ВЛАДЕТЬ» – 0 или 2 балла:

Выбрать метод решения и с его помощью по заданным исходным данным (Вариант 4) решить задачу.

Симплекс метод решения основной задачи линейного программирования

Симплекс алгоритм приспособлен к решению канонической задачи линейного программирования (5), в то время как она является лишь частным случаем основной задачи (2). Здесь мы покажем, как можно свести всякую основную задачу линейного программирования к канонической задаче. Замечательным является то, что для такого перехода можно воспользоваться симплекс алгоритмом. Для того, чтобы сделать первый шаг симплекс алгоритма необходимо иметь начальное допустимое базисное решение. Как было указано выше, такое решение не всегда можно получить, разрешив относительно m переменных систему ограничений задачи (2). Это связано с тем, что при таком способе некоторые из свободных членов полученной системы, могут оказаться отрицательными, а потому, базисное решение не будет допустимым. Более того, может оказаться, что система ограничений несовместна. В таком случае поиск допустимого базисного решений тщетен.

Нахождение допустимого решения системы ограничений

Для нахождения допустимого решения сначала умножим на -1 те уравнения системы ограничений (2), правые части которых отрицательны. Таким образом, мы добьемся неотрицательности всех правых частей bi в системе ограничений. Чтобы найти допустимое решение будем решать следующую специально для этого сконструированную каноническую задачу линейного программирования:

 

В этой задаче ограничения

 

 

 

 

 

возможного обратного обмена уже переведенного в число.

 

 

 

Критерий Ходжа–Лемана.

Критерий Ходжа-Лемана базируется одновременно на критериях Вальда и Байеса-Лапласа:

. (6.20)

Правило выбора, соответствующее этому критерию, формулируется следующим образом: матрица решений [W_ij] дополняется столбцом, составленным из средних взвешенных (с постоянными весами) математического ожидания и наименьшего результата каждой строки. Отбирается тот вариант решения, в строке которого стоит наибольшее значение этого столбца.

При z=1 критерий преобразуется в критерий Байеса-Лапласа, а при z=0 превращается в критерий Вальда. Таким образом, выбор параметра z подвержен влиянию субъективизма. Кроме того, без внимания остается и число реализаций. Поэтому этот критерий редко применяется при принятии технических решений.

Критерий Ходжа-Лемана предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:

• о вероятности появления состояния V_j ничего не известно, но некоторые предположения о распределении вероятностей возможны;
• принятое решение теоретически допускает бесконечно большое количество реализаций; допускается некоторый риск при малых числах реализаций.

Пример 6.3. Обоснование состава ремонтной бригады.

На предприятии решается вопрос о создании ремонтной бригады. Основываясь на применениии критериев Вальда, Лапласа, Сэвиджа и Гурвица, определить наиболее целесообразное число членов бригады. Исходные данные сведены в табл. 6.1, в ячейках которой занесены доходы при разных вариантах (стратегиях). Под стратегией понимается x -число членов бригады и R - количество станков, требующих ремонта.

Таблица 6.1

x\R	40	30	20	10
5	50	100	180	250
4	80	70	80	230
3	210	180	120	210
2	300	220	190	150

1. Критерий Вальда. Как указывалось выше критерий Вальда выражается в двухь формах, зависящих от вида исходных данных.

• Если исходными данными являются потери при различных стратегиях, то критерий выбирается в форме минимакса (минимальные потери из минимально возможных), то есть критерий (2.6) имеет вид

.

Таким образом, справа дописывается столбец максимумов по строкам.

Таблица 6.3

x\R	40	30	20	10	max
5	50	100	180	250	250
4	80	70	80	230	230
3	210	180	120	210	210
2	300	220	190	150	300

Для удобства запишем его в виде транспонированного вектора max u_xR = <250, 230, 210, 300>^т и выбираем минимальное значение 210. Таким образом, при данных условиях рациональным решением будет x=3, R=10, min u_xR = 210.

• Если в таблице фигурируют доходы при различных стратегиях, то критерий Вальда принимает форму максимина (максимум из минимумов), то есть критерий (2.6) имеет вид

.

Таким образом, справа дописывается столбец минимумов по строкам.

Таблица 6.3

x\R	40	30	20	10	min
5	50	100	180	250	50
4	80	70	80	230	70
3	210	180	120	210	120
2	300	220	190	150	150

Тогда решающий столбец имеет вид max u_xR = <50, 70, 120, 150>^т. Максиминное значение равно 150. Таким образом, при данных условиях рациональным решением будет: x=2, R=10, max u_xR = 150.

2. Критерий Лапласа. Как известно, критерий Лапласа предполагает, что все состояния системы равновероятны и рациональные решения выбираются по критерию:

.

При данных предыдущего примера в случае, если в таблице записаны потери при том или ином варианте, значение критериев подсчитывается так:

W₁ = 0.25 (50+100+180+250) = 145;

W₂ = 0.25 (80+70+80+230) = 115;

W₃ = 0.25 (210+180+120+210) = 180;

W₄ = 0.25 (300+220+190+150) = 215.

Таким образом наилучшим решением будет x=4, минимум потерь (наибольший выигрыш) равен 115.

3. Критерий Сэвиджа. В этом случае составляется новая матрица, элементы которой составляются по правилу:

Составим матрицу W(x_i, R_j) - матрицу сожалений для случая, когда u_ij - потери, используя предыдущие данные. Соответствующая матрица получается путем вычисления значений min(x_i, R_j), равных 50, 70, 80 и 150 из столбцов 1, 2, 3, 4, соответственно

					max W(xi, Rj)
	0	30	100	100	100
W(xi, Rj)=	30	0	0	0	80
	160	110	40	60	160
	250	150	110	0	250

Таким образом, минимальные потери будут при x=2, когда max W(x_i, R_j)=80. Отметим, что независимо от того, является функцией сожаления, определяющая потери. Поэтому здесь можно применить только минимаксный критерий.

4. Критерий Гурвица. В отличие от примененных выше "жестких" критериев, критерий Гурвица является "гибким", так как позволяет варьировать "степень оптимизма-пессимизма". Таким образом, этот критерий устанавливает баланс между случаями крайнего оптимизма или пессимизма, путем введения коэффициента веса r . Как указывалось выше, критерий записывается в виде:

Применим данный критерий к нашим исходным данным, полагая r =0.5. Матрица значений W будет выглядеть следующим образом:

Таблица 6.4

	min u(xi, Rj)	max u(xi, Rj)	r min u(xi, Rj) + r max u(xi, Rj)
5	50	250	15
4	70	230	15
3	120	210	165
2	150	300	225

Таким образом, в результате применения этого критерия получилось, что существуют два равнозначных варианта:

x₁ = 5, x₂ = 4 при одинаковых значениях W₁ = W₂ = 15.

 

---

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 787; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!