Метод наименьших квадратов (МНК)

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Метод нахождения оценки неизвестного параметра Ө, основанный на минимизации суммы квадратов отклонений выборочных данных от искомой оценки Ө. Другими словами, в МНК требуется найти такое значение , которое минимизировало бы сумму

Выполнение работы.

Проверка гипотезы о виде закона распределения (по критерию хи-квадрат).

Вариационный ряд выборки:

-3,665	-3,289	-3,064	-2,936	-2,891	-2.846	-2,728	-2,590	-2,572	-2,570
-2,530	-2,502	-2,480	-2,447	-2,414	-2,356	-2,222	-2,150	-2,055	-2,039
-2,013	-1,948	-1,930	-1,899	-1,883	-1,865	-1,820	-1,767	-1,753	-1,707
-1,696	-1,670	-1,667	-1,632	-1,620	-1,605	-1,587	-1,584	-1,558	-1,503
-1,491	-1,489	-1,488	-1,487	-1,473	-1,447	-1,428	-1,366	-1,365	-1,351
-1,338	-1,295	-1,287	-1,264	-1,252	-1,227	-1,212	-1,185	-1,181	-1,170
-1,128	-1,124	-1,076	-1,066	-1,059	-1,022	-1,010	-1,000	-0,970	-0,938
-0,907	-0,891	-0,890	-0,869	-0,808	-0,774	-0,745	-0,738	-0,712	-0,708
-0,677	-0,673	-0,579	-0,566	-0,557	-0,551	-0,550	-0,483	-0,464	-0,448
-0,371	-0,339	-0,320	-0,145	-0,020	-0,053	0,059	0,089	0,090	0,719

Оценка математического ожидания: -1,380

Оценка дисперсии: 0,679

Оценка среднего квадратического отклонения: 0,824

Разобьем вариационный ряд выборки на полуинтервалов.

[-3,665; -2,570]

(-2,570; -2,039]

(-2,039; -1,707]

(-1,707; -1,503]

(-1,503; -1,351]

(-1,351; -1,170]

(-1,170; -0,938]

(-0,938; -0,708]

(-0,708; -0,448]

(-0,448; 0,719]

Вычислим гипотетические вероятности попадания в полуинтервалы.

Результаты вычислений сведем в таблицу

Интервал
[-3,665; -2,570]	0,072
(-2,570; -2,039]	0,137
(-2,039; -1,707]	0,130
(-1,707; -1,503]	0,096
(-1,503; -1,351]	0,076
(-1,351; -1,170]	0,080
(-1,170; -0,938]	0,110
(-0,938; -0,708]	0.120
(-0,708; -0,448]	0,080
(-0,448; 0,719]	0,120

Вероятность попадания в интервал (- ,-3,665) равна , а в интервал (0,719; + )

Вычислим реализацию статистики критерия хи-квадрат по формуле

Вспомогательная таблица для вычислений

k	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1,070	0,999	0,692	0,017	0,758	0,5	0,091	0,333	0,5	0,333

Тогда

При справедливости гипотезы о нормальном распределении статистика Z имеет распределение .Тогда критическая область имеет вид ,а доверительная область- .

Так как вычисленное по выборке значение статистики попадает в доверительную область, то с вероятностью 0,95 можно утверждать, что данные выборки согласуются с гипотезой о нормальном распределении.

Теперь проверим гипотезу о том что выборка имеет равномерное распределение. Разбиение на полуинтервалы , количество элементов, попавших в каждый из них, математическое ожидание и дисперсия не изменятся.

Равномерное распределение имеет два независимых параметра:

и . Найдем их из системы:

;

Вычислим вероятности попадания в интервалы по формуле:

Результаты вычислений сведем в таблицу

Интервал
[-3,665; -2,570]	0,384
(-2,570; -2,039]	0,186
(-2,039; -1,707]	0,116
(-1,707; -1,503]	0,072
(-1,503; -1,351]	0,053
(-1,351; -1,170]	0,064
(-1,170; -0,938]	0,081
(-0,938; -0,708]	0,080
(-0,708; -0,448]	0,092
(-0,448; 0,719]	0,408

Вероятность попадания в полуинтервалы (- ,-2,9443), равна нулю.

Вычислим статистику реализации хи-квадрат по формуле

Вспомогательная таблица для вычислений

k	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	21,004	3,976	0,221	1,089	4,168	2,025	0,446	0,5	0,07	23,251

Тогда

Так как вычисленное по выборке значение статистики не попадает в доверительную область, вычисленную ранее, то с вероятностью 0,95 можно утверждать, что данные выборки не согласуются с гипотезой о равномерном распределении.

Теперь проверим гипотезу о том что выборка имеет экспоненциальное распределение. Разбиение на полуинтервалы , количество элементов, попавших в каждый из них, математическое ожидание и дисперсия не изменятся.

Экспоненциальное распределение имеет два независимых параметра: и .

;

Вычислим вероятности попадания в интервалы по формуле:

Результаты вычислений сведем в таблицу

Интервал
[-3,665; -2,570]	0,735
(-2,570; -2,039]	0,126
(-2,039; -1,707]	0,046
(-1,707; -1,503]	0,021
(-1,503; -1,351]	0,012
(-1,351; -1,170]	0,012
(-1,170; -0,938]	0,012
(-0,938; -0,708]	0,008
(-0,708; -0,448]	0,008
(-0,448; 0,719]	0,015