Законы сложения, умножения и вычитания

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Операции сложения, умножения и вычитания множеств имеют много общих свойств с операциями сложения, умножения и вычитания чисел.

В этом параграфе приведем важнейшие из них, а также докажем несколько теорем, указывающих на различие между алгеброй множеств и арифметикой.

Законы коммутативности:

а) (1)

б)

Эти законы непосредственно следуют из законов коммутативности для дизъюнкции и конъюнкции.

Законы ассоциативности:

а) (2)

б)

Доказательство основано на законах ассоциативности для дизъюнкции и конъюнкции.

Отсюда следует, что при сложении или умножении конечного числа множеств можно опускать скобки, указывающие порядок действий.

Например: .

Законы дистрибутивности:

а) (3)

б)

Доказательство основано на законах дистрибутивности для дизъюнкции и конъюнкции.

Например:

Законы идемпотентности:

а) (4)

б) .

Доказательства получаются непосредственно из законов идемпотентности , .

Докажем несколько законов для операции вычитания.

(5)

сравнить:

В самом деле, из формул (1) и (2) §2 следует:

Откуда по закону дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции имеем:

Поскольку , сомножитель И можно в произведении опустить. Таким образом получим:

что и доказывает формулу (5).

Из этой формулы следует, что вычитание множеств не является операцией, обратной сложению, как в обычной алгебре чисел. Если, например, А — множество четных чисел, а В — множество чисел, делящихся на 3, то множество отличается от В, потому что оно содержит все четные числа.