Асимптоты графика функций: их виды, примеры решений
- Понятие асимптоты
- Вертикальные асимптоты
- Горизонтальные асимптоты
- Наклонные асимптоты
Понятие асимптоты
Во многих случаях построение графика функции облегчается, если предварительно построить асимптоты кривой.
Определение 1. Асимптотами называются такие прямые, к которым сколь угодно близко приближается график функции.
Определение 2. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки М кривой до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки М от начала координат по какой-либо ветви кривой.
Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.
Вертикальные асимптоты
Прямая x = aявляется вертикальной асимптотой графика функции f(x), если выполняется хотя бы одно из условий:
или 
.
(при этом функция f(x) может быть вообще не определена соответственно при 
и 
).
Замечание. Символом
обозначается стремление x к a справа, причём x остаётся больше a, символом
стремление x к a слева, причём x остаётся меньше a.
Из сказанного следует, что вертикальные асимптоты кривой нужно искать в точках разрыва и на границах области определения. График функции, непрерывной на всей числовой прямой, вертикальных асимптот не имеет.
Пример 1.График функции y = lnx имеет вертикальную асимптоту x = 0 (т.е. совпадающую с осью Oy) на границе области определения, так как
(рис. слева).
Найти асимптоты самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 2.Найти асимптоты графика функции 
.
Пример 3.Найти асимптоты графика функции 
Пример 4.Найти асимптоты график функции 
.
Посмотреть решения и ответы примеров 2, 3, 4.
Горизонтальные асимптоты
Если
то y = b– горизонтальная асимптота кривой y = f(x) (правая при 
, левая при 
и двусторонняя, если пределы при 
равны).
Пример 5.График функции
при a > 1 имеет левую горизонтальную асимпототуy = 0 (т.е. совпадающую с осью Ox), так как
Правой горизонтальной асимптоты у кривой нет, поскольку
Наклонные асимптоты
Существование наклонной асимптоты определяется следующей теоремой.
Теорема.Для того, чтобы кривая y = f(x) имела асимптоту y = kx+ b, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы
(1)
или
(2)
В первом случае получается правая наклонная асимптота, во втором – левая. Правая наклонная асимптота изображена на рис. снизу.
При совпадении пределов (1) и (2) прямая y = kx+ b является двусторонней асимптотой кривой.
Если хотя бы один из пределов, определяющих асимптоту y = kx+ b, не существует, то график функции не имеет наклонной асимптоты (но может иметь вертикальную).
Нетрудно видеть, что горизонтальная асимптота y = b является частным случаем наклонной y = kx+ b при k = 0.
Поэтому если в каком-либо направлении кривая имеет горизонтальную асимптоту, то в этом направлении нет наклонной, и наоборот.
Пример 6.Найти асимптоты графика функции
Решение. Функция определена на всей числовой прямой, кроме x = 0, т.е.
Поэтому в точке разрыва x = 0 кривая может иметь вертикальную асимптоту. Действительно,
Следовательно, x = 0 – вертикальная асимптота; при
слева
при
справа
Горизонтальной асимптоты кривая не имеет, так как
Выясним наличие наклонной асимптоты:
Прямая y = 2x является двусторонней наклонной асимптотой заданной кривой (рис. внутри примера).
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 859; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!