Способ задания проблемы и формулировка 1
По Посту проблема задаётся внешней силой путем пометки конечного количества ящиков ленты. В более поздних работах по машине Поста принято считать, что машина работает в единичной системе счисления (0=V; 1=VV; 2=VVV; 3=VVVV), т.е. ноль представляется одним помеченным ящиком, а целое положительное число – помеченными ящиками в количестве на единицу больше его значения.
Поскольку множество конкретных проблем, составляющих общую проблему счетное, то можно установить взаимно однозначное соответствие (биективное отображение) между множеством положительных целых чисел N и множеством конкретных проблем.
Общая проблема называется по Посту 1-заданой, если существует такой финитный 1 – процесс, что, будучи, применим к n є N в качестве исходной конфигурации ящиков, он задает n-ую конкретную проблему в виде набора помеченных ящиков.
Если общая проблема 1-задана и 1-разрешима, то, соединяя наборы инструкций по заданию проблемы, и ее решению мы получаем ответ по номеру проблемы – это и есть в терминах статьи Поста формулировка 1.
Эмиль Пост завершает свою статью следующей фразой: «Автор ожидает, что его формулировка окажется логически эквивалентной рекурсивности в смысле Геделя — Черча. Цель формулировки, однако, в том, чтобы предложить систему не только определенной логической силы, но и психологической достоверности. В этом последнем смысле подлежат рассмотрению всё более и более широкие формулировки. С другой стороны, нашей целью будет показать, что все они логически сводимы к формулировке 1. В настоящий момент мы выдвигаем это умозаключение в качестве рабочей гипотезы. … Успех вышеизложенной программы заключался бы для нас в превращении этой гипотезы не столько в определение или аксиому, сколько в закон приро-ды».
|
|
|
Таким образом, гипотеза Поста состоит в том, что любые более широкие формулировки в смысле алфавита символов ленты, набора инструкций, представления и интерпретации конкретных проблем сводимы к формулировке 1.
| АЛГОРИТМ | очевидно <------- гипотеза -------> | ПРОГРАММА ПОСТА ФОРМУЛИРОВКА 1 |
Следовательно, если гипотеза верна, то любые другие формальные определения, задающие некоторый класс алгоритмов, эквивалентны классу алгоритмов, заданных формулировкой 1 Эмиля Поста.
Обоснование этой гипотезы происходит сегодня не путем строго математического доказательства, а на пути эксперимента — действительно, всякий раз, когда нам указывают алгоритм, его можно перевести в форму программы машины Поста, приводящей к тому же результату.
МАШИНА ТЬЮРИНГА И АЛГОРИТМИЧЕСКИ НЕРАЗРЕШИМЫЕ ПРОБЛЕМЫ
Машина Тьюринга
Алан Тьюринг (Turing) в 1936 году опубликовал в трудах Лондонского математического общества статью «О вычислимых числах в приложении к проблеме разрешения», которая наравне с работами Поста и Черча лежит в основе современной теории алгоритмов.
|
|
|
Предыстория создания этой работы связана с формулировкой Давидом Гильбертом на Международном математическом конгрессе в Париже в 1900 году неразрешенных математических проблем. Одной из них была задача до-казательства непротиворечивости системы аксиом обычной арифметики, которую Гильберт в дальнейшем уточнил как «проблему разрешимости» - нахождение общего метода, для определения выполнимости данного высказывания на языке формальной логики.
Статья Тьюринга как раз и давала ответ на эту проблему - вторая про-блема Гильберта оказалась неразрешимой. Но значение статьи Тьюринга выходило далеко за рамки той задачи, по поводу которой она была написана.
Приведем характеристику этой работы, принадлежащую Джону Хоп-крофту: «Работая над проблемой Гильберта, Тьюрингу пришлось дать четкое определение самого понятия метода. Отталкиваясь от интуитивного представления о методе как о некоем алгоритме, т.е. процедуре, которая может быть выполнена механически, без творческого вмешательства, он показал, как эту идею можно воплотить в виде подробной модели вычислительного процесса. Полученная модель вычислений, в которой каждый алгоритм разбивался на последовательность простых, элементарных шагов, и была логической конструкцией, названной впоследствии машиной Тьюринга».
|
|
|
Машина Тьюринга является расширением модели конечного автомата, расширением, включающим потенциально бесконечную память с возможностью перехода (движения) от обозреваемой в данный момент ячейки к ее левому или правому соседу.
Формально машина Тьюринга может быть описана следующим образом: Пусть заданы:
o конечное множество состояний – Q, в которых может находиться машина Тьюринга;
o конечное множество символов ленты – Г;
o функция 
(функция переходов или программа), которая задается отображением пары из декартова произведения Q x Г (машина находится в состоянии 
и обозревает символ 
) в тройку декартова произведения Q х Г х {L,R} (машина переходит в состояние , заменяет символ на символ 
и передвигается влево или вправо на один символ ленты) – Q x Г-->Q х Г х {L,R}
o один символ из Г-->е (пустой);
o подмножество 
є Г --> определяется как подмножество входных символов ленты, причем е є (Г- );
|
|
|
o одно из состояний – 
є Q является начальным состоянием машины.
| Решаемая проблема задается путем записи конечного количества символов из множества | |||||||
| e | S1 | S2 | S3 | S4 | ......... | Sn | e |
после чего машина переводится в начальное состояние и головка устанавливается у самого левого непустого символа – 
, после чего в соответствии с указанной функцией переходов ( , 
)-->( 
, 
, L или R) машина начинает заменять обозреваемые символы, передвигать головку вправо или влево и переходить в другие состояния, предписанные функций переходов.
Остановка машины происходит в том случае, если для пары ( , ) функция перехода не определена.
Алан Тьюринг высказал предположение, что любой алгоритм в интуитивном смысле этого слова может быть представлен эквивалентной машиной Тьюринга. Это предположение известно как тезис Черча–Тьюринга. Каждый компьютер может моделировать машину Тьюринга (операции перезаписи ячеек, сравнения и перехода к другой соседней ячейке с учетом изменения состояния машины). Следовательно, он может моделировать алгоритмы в любом формализме, и из этого тезиса следует, что все компьютеры (независимо от мощности, архитектуры и т.д.) эквивалентны с точки зрения принципиальной возможности решения алгоритмических задач.
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 767; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!