Вычислить множественный и частные коэффициенты детерминации, а также множественный коэффициент корреляции
Глава 9. Статистическое изучение связи социально-экономических явлений
9.1. Методические указания и решения типовых задач
Особенности статистического изучения связи между социально-экономическими явлениями заключаются в том, что они дают возможность не только выявить наличие и направление связи, но позволяют количественно ее оценивать и выражать аналитически. Связи между явлениями и признаками ввиду большого их разнообразия классифицируются в статистике по ряду оснований. Признаки по характеру их роли во взаимосвязи подразделяются на факторные (x) и результативные (y). Факторные признаки обуславливают изменение других, связанных с ними признаков. Признаки, изменяющиеся под действием факторных признаков, называются результативными.
Связи между явлениями, их признаками подразделяют, прежде всего, по степени тесноты связи, по направлению и ее аналитическому выражению. Речь идет о полной, или функциональной, связи и связи неполной, корреляционной или статистической. Функциональными называются такие связи, в которых определенному значению факторного признака (признаков) соответствует строго определенное значение результативного признака. В корреляционной (статистической) же связи такого соответствия между изменением факторного признака и результативного нет – одному и тому же значению признака-фактора могут соответствовать разные значения результативного признака (при одном и том же размере внесения органических удобрений урожайность зерновых культур может иметь самые различные значения). Корреляционная связь проявляется лишь в среднем, в массе случаев.
|
|
|
По направлению выделяют связь прямую и обратную. Прямая – это такая связь, при которой оба вида признаков (факторный и результативный) изменяются в одном и том же направлении – по мере увеличения или уменьшения значения факторного признака значения результативного соответственно увеличиваются или уменьшаются. В случае же обратной связи значения результативного признака изменяются под действием факторного, но в противоположном направлении по сравнению с изменением факторного признака. Так, с увеличением надоев молока на одну корову уровень его себестоимости при прочих равных условиях, как правило, снижается.
По аналитическому выражению выделяют связи прямолинейные (или просто линейные) и нелинейные. Если статистическая связь явлений может быть приближенно выражена математическим уравнением прямой линии, то ее называют линейной связью, если же она может быть выражена уравнением кривой линии (параболы, гиперболы, полулогарифмической кривой и т.п.), то криволинейной.
|
|
|
Для выявления связи, ее характера, направления в статистике используются методы приведения параллельных данных, балансовый, аналитических группировок, графический. Суть метода приведения параллельных данных состоит в следующем: приводятся два ряда данных о двух явлениях или двух признаков, связь между которыми необходимо выявить, и по характеру изменений делают заключения о наличии (если изменение величин одного ряда следует за изменением величин другого ряда) или об отсутствии связи (если никакого твердого, устойчивого соответствия в их изменениях нет). Балансовый метод заключается в построении балансов-таблиц, в которых итог одной части равен итогу другой (например, баланс производства сахара и его потребления).
Посредством факторных группировок устанавливаются и изучаются причинно-следственные связи между факторными и результативными признаками. Они основаны на изучении того, как в массовых явлениях с изменением одного или нескольких факторных признаков изменяется результативный признак. Например, с увеличением размера внесенных органических удобрений средняя урожайность зерновых культур от группы к группе закономерно возрастает.
|
|
|
Характер зависимости между двумя признаками (факторным и результативным) можно наглядно увидеть, если построить график, отложив на оси абсцисс ранжированные (возрастающие) значения признака-фактора (x), а на оси ординат значения результативного признака (y). Нанеся на график точки, соответствующие значениям x и y, получим корреляционное поле, где по характеру расположения точек можно судить о направлении и силе связи. Если точки беспорядочно разбросаны по всему полю, это говорит о том, что зависимости между двумя признаками нет; если они будут концентрироваться вокруг оси, идущей от нижнего левого угла в верхний правый, то имеется прямая зависимость между варьирующими признаками; и если точки будут концентрироваться вокруг оси, идущей от верхнего левого угла в нижний правый, то имеется обратная зависимость.
Удобной формой изложения данных о взаимосвязанных признаках является корреляционная таблица, представляющая собой комбинационную статистическую таблицу, в которой сопрягаются ряды распределения факторного и результативного признаков. Если частоты концентрируются у диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, то это указывает на то, что связь между факторными и результативными признаками близка к прямой, а если же в корреляционной таблице частоты концентрируются у диагонали, идущей из правого нижнего угла в верхний левый, то в подобных случаях отмечается обратная связь между признаками.
|
|
|
Показатели тесноты связи. Для оценки тесноты связи применяется ряд показателей. Одни из них являются эмпирическими (непараметрическими), другие - теоретическими (выводимыми строго математически).
К непараметрическим коэффициентам оценки тесноты связи относятся: коэффициент Фехнера (коэффициент знаков), коэффициент корреляции рангов (коэффициент Спирмена), коэффициент конкордации, коэффициент ассоциации, коэффициент контингенции и коэффициент взаимной сопряженности.
Коэффициент знаков (коэффициент Фехнера) вычисляется на основании определения знаков отклонений вариантов двух взаимосвязанных признаков от их средних величин по формуле:
, (9.1)
где С – число совпадений знаков;
Н – число несовпадений знаков.
Коэффициент корреляции рангов (коэффициент Спирмена) рассчитывает по рангам (порядковым номерам) двух взаимосвязанных признаков следующим образом:
, (9.2)
где di2 – квадраты разности рангов; n – число наблюдений (число пар рангов).
Пример 1.По данным группам сельскохозяйственных предприятий района о внесении органических удобрений (x, т/га) и уровнем урожайности зерновых культур (y, ц/га) рассчитаем коэффициент Спирмена:
Таблица 9.1
| № предп-риятия | x | y | Сравнение рангов | Разность рангов di=Rx-Ry | di2 | |
| Rx | Ry | |||||
| 1 | 2 | 22 | 2 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 23 | 1 | 2 | -1 | 1 |
| 3 | 3 | 25 | 3,5 | 3 | 0,5 | 0,25 |
| 4 | 3 | 28 | 3,5 | 5 | -1,5 | 2,25 |
| 5 | 4 | 27 | 5 | 4 | 1 | 1 |
| 6 | 5 | 30 | 6 | 6,5 | -0,5 | 0,25 |
| 7 | 7 | 32 | 8 | 8 | 0 | 0 |
| 8 | 6 | 30 | 7 | 6,5 | 0,5 | 0,25 |
| 9 | 8 | 35 | 9,5 | 10 | -0,5 | 0,25 |
| 10 | 8 | 34 | 9,5 | 9 | 0,5 | 0,25 |
| Итого | - | - | - | - | - | 6,5 |
Следовательно, связь между размером внесения органических удобрений и уровнем урожайности зерновых культур прямая и тесная.
Если двум или нескольким показателям присвоен один и тот же ранг, то расчеты производятся как средняя арифметическая из порядковых значений рангов.
Для определения тесноты связи между тремя признаками применяется ранговый коэффициент конкордации, который вычисляется по формуле:
, (9.3)
где m – число признаков; n – число наблюдений; S- сумма квадратов отклонений рангов.
Пример 2. Наряду с вышеприведенной задачей определить тесноту связи между размером внесенных органических удобрений (x, т/га); размером внесенных минеральных удобрений (z, кг/га) и уровнем урожайности зерновых культур (у, ц/га). Зависимость между признаками представлена в табл. 9.2.
Таблица 9.2
| № предприятия | х | z | y | Сравнение рангов | Сумма рангов Rx+Rz+Ry | Квадраты сумм | ||
| Rx | Rz | Ry | ||||||
| 1 | 2 | 100 | 22 | 2 | 1 | 1 | 4 | 16 |
| 2 | 1 | 120 | 23 | 1 | 2 | 2 | 5 | 25 |
| 3 | 3 | 150 | 25 | 3,5 | 4 | 3 | 10,5 | 110,25 |
| 4 | 3 | 140 | 28 | 3,5 | 3 | 5 | 11,5 | 132,25 |
| 5 | 4 | 160 | 27 | 5 | 5 | 4 | 14 | 196 |
| 6 | 5 | 170 | 30 | 6 | 7 | 6,5 | 19,5 | 380,25 |
| 7 | 7 | 165 | 32 | 8 | 6 | 8 | 22 | 484 |
| 8 | 6 | 180 | 30 | 7 | 8 | 6,5 | 21,5 | 462,25 |
| 9 | 8 | 200 | 35 | 9,5 | 10 | 10 | 29,5 | 870,25 |
| 10 | 8 | 190 | 34 | 9,5 | 9 | 9 | 27,5 | 756,25 |
| Итого | - | - | - | - | - | - | 165 | 3432,5 |
Величина коэффициента конкордации показывает, что между исследуемыми признаками имеется тесная зависимость. Эта зависимость объясняется тем, что рассматриваемые факторы оказывают значительное влияние на уровень урожайности зерновых культур.
Для определения тесноты связи двух качественных признаков, каждый из которых состоит только из двух групп, применяются коэффициенты ассоциации и контингенции. Для их вычисления строится таблица, которая показывает связь между двумя явлениями, каждое из которых должно быть альтернативным.
Коэффициент ассоциации исчисляется по формуле:
(9.4)
где a, b, c, d – частоты клеток четырехпольной таблицы, а коэффициент контингенции рассчитывается:
(9.5)
Коэффициент контингенции всегда меньше коэффициента ассоциации. Связь считается подтвержденной, если 
Пример 3.Исследовалась связь между выполнением норм выработки рабочих и уровнем их образования. Результаты обследования характеризуются следующими данными:
Таблица 9.3
| Группы рабочих | Выполняющие нормы | Не выполняющие нормы | Итого |
| Рабочие, имеющие среднее техническое образование | 80 (а) | 20 (b) | 100 |
| Рабочие, не имеющие среднего технического образования | 30 (c) | 70 (d) | 100 |
| Итого | 110 | 90 | 200 |
Связь между выполнением норм выработки и уровнем образования рабочих признается достоверной.
Если каждый из качественных признаков состоит более чем из двух групп, то для определения тесноты связи применяется коэффициент взаимной сопряженности К.Пирсона. Этот коэффициент исчисляется по формуле:
(9.6)
где 
- показатель взаимной сопряженности.
Пример 4. В качестве примера расчета коэффициента взаимной сопряженности возьмем аналитическую таблицу, характеризующую связь между урожайностью ячменя и сроками его уборки.
Таблица 9.4
 Урожайность
Сроки сева
| Высокая | Средняя | Низкая | Итого | Ti |
| Своевременно | 50 2500 41,67 | 8 64 2,56 | 2 4 0,27 | 60 - 44,50 | 0,742 |
| С небольшим опозданием | 10 100 1,67 | 14 196 7,84 | 6 36 2,40 | 30 - 11,91 | 0,397 |
| С сильным опозданием | _ | 3 9 0,36 | 7 49 3,27 | 10 - 3,63 | 0,363 |
| Итого | 60 | 25 | 15 | 100 | 1,502 |
Порядок заполнения клеток корреляционной таблицы производится следующим образом. В левом верхнем углу каждой клетки проставляются частоты, в центре клетки рассчитаны квадраты частот, внизу справа каждой клетки записываются частные от деления квадратов частот на суммы по соответствующей графе. Так, например, 41,67 есть результат деления (2500 : 60); 2,56 (64 : 25); 0,27 (4 : 15) и т.д. Сумма этих чисел проставляется в нижнем углу первой клетки итоговой графы:
41,67 + 2,56 + 0,27 = 44,50.
Таким же образом производится подсчет сумм и в других клетках итоговой графы. Частные от деления найденных сумм на итог частот по каждой строке заносятся в клетки последней графы (Тi). И наконец, сумма чисел последней графы 
без единицы и равна 
, т.е.
Подставив найденное значение в формулу расчета коэффициента взаимной сопряженности, получим:
Коэффициент взаимной сопряженности исчисляется и по формуле, предложенной А.А. Чупровым:
(9.7)
где К1 – число групп по факторному признаку;
К2 – число групп по результативному признаку.
Вычислим коэффициент взаимной сопряженности по формуле А.А. Чупрова:
Корреляция и регрессия. На основе методов корреляционно-регрессионного анализа представляется возможным оценить не только тесному связи, но и выразить эту связь аналитически.
Связь между результативным и факторным признаками в зависимости от ее характера может быть аналитически выражена уравнениями:
прямой: 
(9.8)
с системой нормальных уравнений:
(9.9)
гиперболы: 
; (9.10)
с системой нормальных уравнений:
(9.11)
параболы второго порядка: 
(9.12)
с системой нормальных уравнений:
(9.13)
степенной функции: 
(9.14)
для нахождения системы нормальных уравнений необходимо выражение степенной функции прологарифмировать, т.е.:
(9.15)
с системой нормальных уравнений:
(9.16)
Уравнение полулогарифмической кривой:
(9.17)
с системой нормальных уравнений:
(9.18)
В уравнении прямой параметр а0 показывает влияние на результативный признак неучтенных факторов. Параметр а1 – коэффициент регрессии показывает, на сколько в среднем изменяется значение результативного признака при увеличении факторного на единицу его измерения. В уравнении параболы а2 показывает ускорение (замедление) результативного признака при увеличении факторного признака на единицу.
На основе коэффициентов регрессии вычисляются коэффициенты эластичности, которые показывают изменение результативного признака (y) в процентах в зависимости от изменения факторного признака (x) на 1%.
При линейной зависимости запишем:
(9.19)
а если зависимость представлена в виде параболы, то коэффициент эластичности имеет вид:
(9.20)
Уравнение регрессии как бы доводит метод группировок до каждой единицы наблюдения.
Для измерения тесноты связи при линейной зависимости служит линейный коэффициент корреляции, исчисляемый по формуле:
(9.21)
В случае нелинейной зависимости между признаками линейный коэффициент корреляции теряет смысл и для измерения тесноты связи применяют так называемое корреляционное отношение, известное также под названием «индекс корреляции», исчисляемый по формуле:
(9.22)
где 
(9.23)
Для качественной оценки связи на основе показателя корреляционного отношения можно пользоваться следующей таблицей, предложенной американским ученым Чэддоком:
Таблица 9.5
| Величина η | 0,1 - 0,3 | 0,3 – 0,5 | 0,5 – 0,7 | 0,7 – 0,9 | 0,9 – 0,99 |
| Сила связи | слабая | умеренная | заметная | высокая | очень высокая |
Для оценки значимости коэффициента корреляции используют критерий, исчисляемый по формуле:
(9.24)
где 
- среднеквадратическая ошибка коэффициента парной корреляции:
(9.25)
Если 
, то существование связи между признаками признается доказанным, и наоборот.
Пример 5. По данным о стоимости основных фондов (х, млрд. р.) и объеме выпуска продукции (у, млрд. р.) необходимо определить уравнение связи и тесноту связи. Связь предполагается линейной.
Таблица 9.6
| № предприятия | х | у | ху | х2 | у2 | 
|
| 1 | 120 | 56 | 6720 | 14400 | 3136 | 52,2 |
| 2 | 80 | 40 | 3200 | 6400 | 1600 | 35,4 |
| 3 | 100 | 40 | 4000 | 10000 | 1600 | 43,8 |
| 4 | 60 | 24 | 1440 | 3600 | 576 | 27,0 |
| 5 | 90 | 36 | 3240 | 8100 | 1296 | 39,6 |
| 6 | 150 | 50 | 7500 | 22500 | 2500 | 64,8 |
| 7 | 110 | 46 | 5060 | 12100 | 2116 | 48,0 |
| 8 | 130 | 65 | 8450 | 16900 | 4225 | 56,4 |
| 9 | 140 | 70 | 9800 | 19600 | 4900 | 60,6 |
| 10 | 100 | 45 | 4500 | 10000 | 2025 | 43,8 |
| Итого | 1080 | 472 | 53910 | 123600 | 23974 | 471,6 |
Применительно к уравнению прямой запишем систему нормальных уравнений:
10а0 +1080а1 =472;
1080а0 +123600а1 = 53910;
а0 = 1,8; а1 = 0,42;
Следовательно, с увеличением стоимости основных фондов на 1 млрд. р. объем выпуска продукции увеличивается в среднем на 0,42 млрд. р.
Определим коэффициент эластичности:
то есть с увеличением стоимости основных фондов на 1% объем выпуска продукции увеличивается на 0,96%.
Для вычисления коэффициента корреляции необходимо рассчитать:
(9.26)
(9.27)
(9.28)
(9.29)
Рассчитаем величину линейного коэффициента корреляции:
= 
.
Вычислим критерий существенности коэффициента корреляции:
Поскольку tэмп > 3, то существенность связи между размером основных фондов и объемом выпуска продукции признается доказанной.
Значения параметров уравнения прямой можно вычислить на основе статистических характеристик: 
Следовательно: 
Оценка значимости (существенности) коэффициента корреляции может быть осуществлена с использованием критерия Стьюдента: если tэмп.>tтабл., то существенность связи доказана, и наоборот. Значение tтабл. определяется с уровнем значимости, допустим, 
= 0,05 и числом степеней свободы V = n –m, где n – число наблюдений; m – число параметров уравнения (Приложение 2). В нашем примере имеем: V = 10 – 2 = 8, тогда tтабл ( = 0,05, V = 8) = 2,3.
Поскольку tэмп.>tтабл, то существенность связи между исследуемыми признаками статистически подтверждена.
Оценка значимости коэффициента регрессии а1 осуществляется следующим образом: если 
то с заданным уровнем значимости можно статистически констатировать подтверждение существенности коэффициента регрессии а1. Эмпирическое значение критерия коэффициента регрессии определятся по формулам:
(9.30)
где 
(9.31)
Вычислим значение 
:
Эмпирическое значение критерия коэффициента а1:
Табличное значение критерия коэффициента регрессии совпадает с определением этого значения для коэффициента корреляции, т.е. 
. Поскольку то значимость (существенность) коэффициента регрессии (а1) статистически доказана.
Измерение тесноты связи по уравнению параболы второго порядка возможно в тех случаях, когда функция имеет экстремальные значения (максимум или минимум), то есть точки перегиба. Так, например, с увеличением размеров внесения органических удобрений уровень урожайности зерновых культур возрастает, но до определенного предела. Достигнув его, урожайность уже не растет и даже падает. Такая связь между признаками вполне обоснована может быть описана уравнением параболы второго порядка:
(9.32)
На основе уравнения параболы второго порядка можно определить значение факторного признака (х), при котором значение результативного признака (у) достигнет максимума. Для этого используется формула:
(9.33)
Пример.6. Исследуется влияние размера внесенных органических удобрений (х, т/га) на уровень урожайности зерновых культур (у, ц/га) по 10 хозяйствам района. Связь между признаками выражается параболой второго порядка. Данные расчетов представим в табл. 9.7
Таблица 9.7.
| № хозяйства | х | у | у2 | х2 | ху | х3 | х4 | х2у | 
| 
| 
|
| 1 | 1 | 14 | 196 | 1 | 14 | 1 | 1 | 14 | 13,81 | 0,19 | 0,0361 |
| 2 | 2 | 18 | 324 | 4 | 36 | 8 | 16 | 72 | 17,52 | 0,48 | 0,2304 |
| 3 | 3 | 20 | 400 | 9 | 60 | 27 | 81 | 180 | 20,76 | -0,76 | 0,5776 |
| 4 | 4 | 25 | 625 | 16 | 100 | 64 | 256 | 400 | 23,52 | 1,48 | 2,1904 |
| 5 | 5 | 23 | 529 | 25 | 115 | 125 | 625 | 575 | 25,81 | -2,81 | 7,8961 |
| 6 | 6 | 27 | 729 | 36 | 162 | 216 | 1296 | 972 | 27,61 | -0,61 | 0,3721 |
| 7 | 7 | 30 | 900 | 49 | 210 | 342 | 2401 | 1470 | 28,94 | 1,06 | 1,1236 |
| 8 | 8 | 32 | 1024 | 64 | 256 | 512 | 4096 | 2048 | 29,79 | 2,21 | 4,8841 |
| 9 | 9 | 30 | 900 | 81 | 270 | 729 | 6561 | 2430 | 30,17 | -0,17 | 0,0289 |
| 10 | 10 | 29 | 841 | 100 | 290 | 1000 | 10000 | 2900 | 30,07 | -1,07 | 1,1449 |
| Итого | 55 | 248 | 6468 | 385 | 1513 | 3025 | 25333 | 11061 | 248,0 | - | 18,4842 |
Подставим данные табл. 9.6. в систему нормальных уравнений:
10а0+55а1 +385а2 = 248;
55а0 + 385а1 +3025а2 = 1513;
385а0 + 3085а1 + 25333а2 = 11061.
Преобразуем систему путем деления соответствующих значений на коэффициенты при первых членах. В результате получим: а0 = 9,61; а1 = 4,435; а2 = - 0,239.
Следовательно, 
Определим, при каком количестве внесенных органических удобрений, будет достигнута наивысшая урожайность зерновых:
т/га
На основе уравнения параболы второго порядка рассчитано, что при внесении органических удобрений на 1 га посевов в размере 9,3 т наивысшая урожайность зерновых культур достигнет:
= 9,61 + 4,435 . 9,3 – 0,239 . 9,32 = 30 ц/га.
Вычислим корреляционное отношение:
Исчисленный коэффициент корреляционного отношения близок к единице, что свидетельствует о достаточно тесной связи между исследованными признаками.
Зависимость между тремя и более признаками называется множественной или многофакторной корреляционной зависимостью. Линейная связь между тремя признаками выражается уравнением:
(9.34)
а система нормальных уравнений для определения параметров а0, а1 и а2 будет следующей:
(9.35)
Теснота связи между тремя признаками измеряется с помощью множественного (совокупного) коэффициента корреляции:
, (9.36)
где 
- парные коэффициенты корреляции.
Наряду с парными коэффициентами вычисляются и частные коэффициенты корреляции. Они характеризуют тесноту связи между парой признаков при условии элиминирования (закрепления на среднем уровне) значений остальных признаков. Применительно к взаимосвязи трех признаков частные коэффициенты корреляции исчисляются:
(9.37)
. (9.38)
Множественный коэффициент корреляции в квадрате (R2) называется коэффициентом детерминации. Он показывает долю вариации результативного признака, обусловленную вариацией факторных признаков, включенную в регрессионную модель.
Пример 7.Определим зависимость между уровнями урожайности зерновых культур (y, ц/га) и двумя факторами: размером внесения минеральных удобрений (х, ц/га) и сроками уборки (z, дней). Результаты подсчета приведем в табл. 9.8.
Таблица 9.8
| № фермы | у | x | z | х2 | xy | у2 | z2 | yz | xz | 
|
| 1 | 14 | 1 | 9 | 1 | 14 | 196 | 81 | 126 | 9 | 15,10 |
| 2 | 18 | 3 | 8 | 9 | 54 | 324 | 64 | 144 | 24 | 20,11 |
| 3 | 20 | 2 | 8 | 4 | 40 | 400 | 64 | 160 | 16 | 18,70 |
| 4 | 23 | 2 | 7 | 4 | 46 | 529 | 49 | 161 | 14 | 20,89 |
| 5 | 26 | 4 | 6 | 16 | 104 | 676 | 36 | 156 | 24 | 25,90 |
| 6 | 24 | 4 | 7 | 16 | 96 | 576 | 49 | 168 | 28 | 23,71 |
| 7 | 28 | 5 | 6 | 25 | 140 | 784 | 36 | 168 | 30 | 27,31 |
| 8 | 27 | 5 | 5 | 25 | 135 | 729 | 25 | 135 | 25 | 25,90 |
| 9 | 29 | 6 | 6 | 36 | 174 | 841 | 36 | 174 | 36 | 28,72 |
| 10 | 30 | 7 | 6 | 49 | 217 | 961 | 36 | 186 | 42 | 30,13 |
| Итого | 240 | 39 | 68 | 185 | 1020 | 6016 | 476 | 1578 | 248 | 240,07 |
10а0 + 39а1 +68а2=240;
39а0 + 185а1 +248а2=1020;
68а0 + 248а1 +476а2=1578.
Отсюда: а0 = 33,4; а1 = 1,41; а2= - 2,19.
Следовательно, 
=33,4+1,41х – 2,19z.
Значение парных коэффициентов корреляции по данным табл. 9.8 составят:
ryx = 0,915; ryz = - 0,915; rxz = - 0,813.
Множественный коэффициент корреляции равен:
Вычислим множественный коэффициент детерминации: R2=(0,961)2= 0,924, или 92,4%, то есть вариация урожайности зерновых культур на 92,4% обусловлена вариацией двух факторных признаков, включенных в регрессионную модель (размером внесения минеральных удобрений и сроками уборки урожая).
Рассчитаем частные коэффициенты корреляции:
Частные коэффициенты корреляции оказались меньше, чем парные. Это связано с тем, что сопутствующее влияние одного из факторов в каждом из частных коэффициентов корреляции элиминировано.
Для многофакторных регрессионных моделей с числом факторов больше двух целесообразно множественный коэффициент корреляции исчислять по формуле:
, (9.39)
где r12, r13, …, r1p – парные коэффициенты корреляции между результативным и каждым из факторных признаков, включенных в регрессионную модель:
- бетта-коэффициенты – это коэффициенты регрессии в стандартизованном масштабе, показывающие, на какую величину среднеквадратического отклонения (сигмы) изменится результативный признак, если каждый из факторных признаков увеличится на одну сигму. Бетта-коэффициенты рассчитываются:
, (9.40)
где aj – коэффициенты регрессии при каждом из признаков – факторов;
σ1 - среднеквадратическое отклонение результативного признака;
σj - среднеквадратические отклонения по каждому из факторных признаков.
Множественный коэффициент детерминации вычисляется по формуле:
(9.41)
В приведенной формуле каждое из выражений, входящих в сумму значений, показывает долю вариации результативного признака, обусловленную вариацией каждого из факторов регрессионной модели.
Пример 8. Линейные коэффициенты корреляции между уровнем результативного признака и тремя его факторами составляли: 0,60; 0,75; и 0,68, а 
- коэффициенты соответственно: 0,30; 0,46 и 0,50.
Вычислить множественный и частные коэффициенты детерминации, а также множественный коэффициент корреляции.
Множественный коэффициент детерминации равен:
,
то есть вариация результативного признака на 86,5% зависит от вариации трех факторных признаков, включенных в регрессионную модель.
Частные коэффициенты детерминации составят:
, или 18,0%, т.е. вариация результативного признака на 18,0% зависит от вариации первого факторного признака;
, или 34,5%, т.е. вариация результативного признака на 34,5% зависит от вариации второго факторного признака;
, или 34,0%, т.е. вариация результативного признака на 34,0% зависит от вариации третьего факторного признака.
Множественный коэффициент корреляции составит:
.
Адекватность уравнения регрессии оценивается по F- критерию Фишера. Эмпирическое значение критерия Fэмп. Рассчитывается по формуле:
(9.42)
n- число единиц совокупности; m – число параметров уравнения. Fэмп. сравнивается с заданным уровнем значимости 
и числом степеней свободы V1=m-1 и V2=n-m c Fтабл. Если 
, то уравнение регрессии признается надежным (значимым). (Приложение 3)
Для оценки уравнений первого порядка (уравнений прямой) используется критерий линейности, исчисляемый по формуле:
с основной ошибкой 
. (9.43)
Составляя разность квадратов корреляционного отношения и коэффициента корреляции с ее основной ошибкой, судят о возможности выбора линейной формы связи между признаками. Если окажется, что отношение 
, то, значит, что связь между исследуемыми признаками не может быть представлена уравнением прямой. В подобных случаях отыскиваются другие формы выражения связи.
Дисперсионный анализ связи - это метод статистической оценки надежности проявления зависимости результативного признака от одного или нескольких факторов. Дисперсионный анализ проводится путем сравнения межгрупповой (факторной) дисперсии с внутригрупповой (остаточной). Если различие между ними значимо, то факторный признак, то есть признак, положенный в основание группировки, оказывает существенное влияние на результативный. При исследовании воздействия на результативный признак одного факторного, то есть однофакторного комплекса, дисперсии исчисляются:
а) факторная дисперсия:
, (9.44)
где 
– сумма квадратов отклонений по факторному комплексу, исчисляемая по формулам, имеющим идентичное значение:
(9.45)
где 
(9.46)
Обозначения:
– групповые средние;
nj –число единиц в каждой группе;
r–число выделенных групп;
N–общая численность единиц совокупности:
r-1– число степеней свободы по факторному комплексу (Vf).
б) остаточная дисперсия:
(9.47)
где –сумма квадратов отклонений по остаточному комплексу, которую можно вычислить по формулам:
или 
(9.48)
Число степеней свободы по остаточному комплексу определяется 
. (9.49)
На основании приведенных дисперсий производится расчет критерия Фишера:
, если 
. (9.50)
Если 
, то существенность влияния факторного признака на результативный подтверждается, и наоборот.
Пример 9. Рассматривается зависимость урожайности озимой пшеницы от сроков сева, ц/га (табл.9.9)
Таблица 9.9
| Сроки сева | Номера участков | Итого | ||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||
| Ранний | 22 | 23 | 20 | 21 | 19 | 105 |
| Умеренный | 19 | 18 | 21 | 20 | 22 | 100 |
| Поздний | 13 | 14 | 16 | 18 | 19 | 80 |
| Итого | 54 | 55 | 57 | 59 | 60 | 285 |
Для проведения процедуры однофакторного анализа приведем данные квадратов значений результативного признака урожайности озимой пшеницы (табл. 9.10)
Таблица 9.10
| Сроки сева | Номера участков | nj | Итого (сумма квадратов) | Квадрат сумм |
| ||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |||||
| Ранний | 484 | 529 | 400 | 441 | 361 | 5 | 2215 | 11025 | 2205 |
| Умеренный | 361 | 324 | 441 | 400 | 484 | 5 | 2010 | 10000 | 2000 |
| Поздний | 169 | 196 | 256 | 324 | 361 | 5 | 1306 | 6400 | 1280 |
| Итого | 1014 | 1049 | 1097 | 1165 | 1206 | 5 | 5531 | 27425 | 5485 |
Используя раннее приведенную схему однофакторного дисперсионного анализа, осуществим необходимые вычисления на основе предварительных расчетов по данным, приведенным в табл. 9.9 и 9.10.
Известно, что: 
Вычислим значения дисперсий на одну степень свободы:
Критерий Фишера (эмпирический) рассчитаем по формуле:
Эмпирическое дисперсионное отношение сравнивается с табличным, которое определяется по значениям степеней свободы (V1 и V2) с заданным уровнем значимости (a).
В нашем примере 
Поскольку Fэмп. оказалось больше Fтабл., то есть основание утверждать, что вариация урожайности озимой пшеницы существенным образом зависит от различий в сроках сева.
Задачи
Задача 9.1. Имеются следующие данные об основных показателях группы промышленных предприятий одной отрасли за отчетный год:
| Номера заводов | Среднегодовая стоимость основных фондов млрд. р. | Среднесписочное число работающих, чел. | Выпуск продукции, млрд. р. | Номера заводов | Среднегодовая стоимость основных фондов, млрд. р. | Среднесписочное число работающих, чел. | Выпуск продукции, млрд. р. |
| 1 | 106 | 2730 | 303 | 26 | 87 | 2090 | 190 |
| 2 | 60 | 2100 | 200 | 27 | 41 | 2300 | 195 |
| 3 | 59 | 3000 | 161 | 28 | 81 | 2190 | 187 |
| 4 | 90 | 2000 | 190 | 29 | 124 | 3300 | 357 |
| 5 | 47 | 2110 | 82 | 30 | 20 | 528 | 34 |
| 6 | 35 | 990 | 70 | 31 | 70 | 1500 | 93 |
| 7 | 40 | 1000 | 60 | 32 | 20 | 730 | 70 |
| 8 | 43 | 960 | 72 | 33 | 24 | 1200 | 84 |
| 9 | 70 | 1910 | 135 | 34 | 25 | 980 | 72 |
| 10 | 14 | 722 | 42 | 35 | 32 | 750 | 75 |
| 11 | 28 | 800 | 40 | 36 | 42 | 850 | 105 |
| 12 | 58 | 1240 | 96 | 37 | 33 33 | 615 | 47 |
| 13 | 18 | 452 | 32 | 38 | 19 | 512 | 37 |
| 14 | 24 | 680 | 58 | 39 | 88 | 2170 | 241 |
| 15 | 31 | 1060 | 71 | 40 | 14 | 505 | 38 |
| 16 | 15 | 670 | 39 | 41 | 91 | 1800 | 169 |
| 17 | 65 | 1750 | 108 | 42 | 101 | 1890 | 182 |
| 18 | 102 | 2080 | 234 | 43 | 52 | 1660 | 90 |
| 19 | 14 | 532 | 29 | 44 | 72 | 1710 | 113 |
| 20 | 26 | 880 | 66 | 45 | 33 | 561 | 49 |
| 21 | 16 | 300 | 27 | 46 | 49 | 920 | 55 |
| 22 | 85 | 3110 | 33 | 47 | 27 | 501 | 34 |
| 23 | 28 | 978 | 71 | 48 | 34 | 770 | 46 |
| 24 | 17 | 820 | 44 | 49 | 35 | 2200 | 176 |
| 25 | 29 | 494 | 28 | 50 | 66 | 2300 | 170 |
Для анализа влияния технической оснащенности на объем выпуска продукции и производительности труда (выработку продукции на одного работающего) составьте групповую аналитическую таблицу. Определите число групп предприятий по величине стоимости основных фондов и размеры равных интервалов (выделите пять интервальных групп).
По каждой группе подсчитайте: количество предприятий; среднесписочную численность работающих; объем продукции, произведенной всеми предприятиями каждой группы; объем продукции, который приходится в среднем на одно предприятие; выработку продукции в среднем на одного работающего; уровень фондоотдачи основных фондов.
Изобразите с помощью ломанных кривых в прямоугольной системе координат зависимость объема продукции предприятий и производительности труда от размеров основных фондов предприятий. Проанализируйте полученный результат.
Задача 9.2. По данным задачи 9.1. для изучения влияния размера предприятий по численности работающих на объем выпуска продукции и производительность труда составьте групповую аналитическую таблицу. Определите число групп предприятий по численности работающих и размеры равных интервалов (выделите шесть групп).
По каждой группе подсчитайте: количество предприятий; среднесписочную численность работающих; объем продукции, произведенной всеми предприятиями; объем продукции, который приходится в среднем на одно предприятие; выработку продукции в среднем на одного работающего; уровень фондоотдачи основных фондов.
Изобразите с помощью ломаных кривых в прямоугольной системе координат зависимость объема продукции предприятий и производительности труда от размера предприятий по числу работающих.
Задача 9.3. По данным задачи 9.1. составьте комбинационную аналитическую таблицу для выявления влияния на объем выпуска продукции и уровень производительности труда:
а) технической оснащенности предприятий; б) размеров предприятий по численности работающих.
Задача 9.4. По данным задачи 9.1. для характеристики связи между объемом основных фондов (х) и размером выпуска продукции (у) исчислите: 1) линейное уравнение регрессии объема выпуска продукции по величине основных фондов; 2) с уровнем значимости а = 0,05 критерий существенности коэффициента регрессии; 3) коэффициент корреляционного отношения в форме индекса корреляции; 4) коэффициент эластичности; 5) линейный коэффициент корреляции; 6) с уровнем значимости α = 0,05 критерий существенности коэффициента корреляции; 7) коэффициент детерминации; 8) коэффициенты уравнения регрессии на основе значений линейного коэффициента корреляции (rху), среднеквадратического отклонения результативного признака (sy ) и среднеквадратического отклонения факторного признака (sx); 9) значение b- коэффициента.
Задача 9.5. По данным задачи 9.1. для выявления зависимости между уровнем производительности труда (выработка продукции на одного работающего y) и размером предприятий по величине основных фондов (х) вычислите: 1) параметры линейного уравнения регрессии уровня производительности труда по величине основных фондов; 2) с уровнем значимости α = 0,02 критерий существенности коэффициента регрессии; коэффициент корреляционного отношения в форме индекса корреляции; 4) коэффициент эластичности; 5) линейный коэффициент корреляции; 6) с уровнем значимости α = 0,02 критерий существенности коэффициента корреляции; 7) коэффициент детерминации; коэффициенты уравнения регрессии на основе значений линейного коэффициента корреляции (rху) среднеквадратического отклонения результативного признака (sy ) и среднеквадратического отклонения факторного признака (sx) значение (b) - коэффициента.
Задача 9.6. По приведенным ниже данным, полученным по группе однородных предприятий, рассчитайте уравнение регрессии прямой между годовым объемом товаров и услуг, который приходится в среднем на одно предприятие, и средним размером предприятий по стоимости основных фондов:
|
| Группы предприятий по размеру основных фондов, млрд. р.
| ||||
| до 45 | 45-70 | 75-105 | 105-135 | 135 и более | |
| Годовой объем товаров и услуг, млрд. р. | 40 | 80 | 120 | 150 | 210 |
| Число предприятий | 8 | 6 | 5 | 4 | 2 |
Определите: 1) линейный коэффициент корреляции; 2) с уровнем значимости a = 0,05 критерий существенности коэффициента корреляции; 3)коэффициент детерминации; 4) коэффициент эластичности; 5) с уровнем значимости a = 0,05 критерий существенности коэффициента регрессии; 6) каким должен быть годовой объем товаров и услуг предприятия, у которого в будущем году прогнозируются размеры основных фондов: а) 10 млрд. р., б) 30 млрд. р.
Изобразите графически данную корреляционную зависимость. Нанесите на один чертеж данные, приведенные в условии задачи, а также полученные с помощью уравнения регрессии.
Задача 98.7. В результате изучения связи между общим производственным стажем и квалификацией рабочих была получена следующая корреляционная таблица:
| Группы рабочих по общему производственному стажу работы, лет
| Численность рабочих, имеющих разряды
| Итого
| ||||
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ||
| до 5 | 15 | 18 | 1 | 1 | — | 35 |
| 5-10 | 1 | 9 | 15 | 3 | 1 | 29 |
| 10-15 | - | 1 | 5 | 8 | 5 | 19 |
| 15-20 | - | - | 4 | 8 | 5 | 17 |
| 20 и более | - | - | 2 | 7 | 11 | 20 |
| Итого | 16 | 28 | 27 | 27 | 22 | 120 |
Для характеристики связи между рассматриваемыми показателями исчислите: 1) параметры уравнения регрессии прямой; 2) при a = 0,02 критерий существенности коэффициента регрессии; 3) линейный коэффициент корреляции, критерий его существенности при a = 0,02; 4) коэффициент детерминации; 5) коэффициент эластичности; 6) теоретическое корреляционное отношение в форме индекса корреляции; 7) эмпирическое корреляционное отношение; 8) исследуйте степень близости теоретического и эмпирического корреляционных отношений); 9) на основе линейного коэффициента корреляции и эмпирического корреляционного отношения установите степень соответствия линейности зависимости между уровнем квалификации и длительностью производственного стажа рабочих.
Задача 9.8. В результате выборочного изучения связи между урожайностью пшеницы и сроками ее уборки после достижения полной спелости были получены следующие результаты:
| Сроки уборки, дней | 1-ый | 2-ой | 3-ий | 4-ый | 5-ый |
| Урожайность, ц/га | 30 | 28 | 25 | 24 | 22 |
Для оценки влияния своевременной уборки на размер урожайности пшеницы определите уравнение регрессии при условии, что связь между результативным и факторным признаками достаточно точно выражается уравнением гиперболы. Наряду с этим вычислите индекс корреляции.
Задача 98.9. В результате специально организованного исследования были получены следующие данные о размерах среднегодовой стоимости основных фондов и годового объема товаров и услуг по группе однородных промышленных предприятий:
| Номера заводов | Среднегодовая стоимость основных фондов, млрд. р. | Объем товаров и услуг, млрд. р. |
| 1 | 40 | 40 |
| 2 | 42 | 45 |
| 3 | 48 | 50 |
| 4 | 50 | 57 |
| 5 | 59 | 70 |
| 6 | 63 | 80 |
| 7 | 66 | 85 |
| 8 | 70 | 95 |
| 9 | 74 | 100 |
| 10 | 81 | 120 |
| 11 | 86 | 130 |
| 12 | 91 | 140 |
| 13 | 98 | 160 |
| 14 | 100 | 170 |
| 15 | 110 | 183 |
| 16 | 115 | 200 |
| 17 | 120 | 230 |
| 18 | 127 | 245 |
| 19 | 132 | 260 |
| 20 | 138 | 300 |
Для определения взаимосвязи между рассматриваемыми признаками найдите уравнение регрессии объема продукции по среднегодовой стоимости основных фондов, если линией регрессии служит полулогарифмическая кривая, а также исчислите теоретический коэффициент корреляционного отношения.
Задача 9.10. При изучении влияния уровня механизации труда на величину дневной выработки на операции по формовке бетона были получены следующие данные:
| Группы рабочих по величине дневной выработки, м3
| Число рабочих с уровнем механизации труда, в процентах
| ||||
| до 40 | 40-60 | 60-80 | 80-100 | Итого | |
| 2-4 | 6 | 14 | 2 | - | 22 |
| 4-6 | 2 | 12 | 6 | - | 20 |
| 6-8 | - | 1 | 2 | 5 | 8 |
| Итого | 8 | 27 | 10 | 5 | 50 |
Для характеристики связи между рассматриваемыми показателями найдите уравнение регрессии производительности труда рабочих по уровню механизации труда, если линией регрессии служит полулогарифмическая кривая. Для характеристики тесноты связи между признаками вычислите индекс корреляции.
Задача 9.11. По 10 опытным участкам имеются следующие данные о соотношении между урожайностью ячменя и количеством внесенных минеральных удобрений:
| Номера участков | Внесено минеральных удобрений, ц/га | Урожайность ячменя, ц/га |
| 1 | 1 | 20 |
| 2 | 2 | 24 |
| 3 | 3 | 28 |
| 4 | 4 | 26 |
| 5 | 5 | 28 |
| 6 | 6 | 30 |
| 7 | 7 | 35 |
| 8 | 8 | 32 |
| 9 | 9 | 40 |
| 10 | 10 | 42 |
Для оценки влияния количества внесенных минеральных удобрений на урожайность ячменя исчислите индекс корреляции при условии, что связь между результативным и факторным признаками достаточно точно выражается уравнением параболы второго порядка. Установите предельный (максимальный) размер внесения минеральных удобрений, при котором будет получена наибольшая урожайность ячменя.
Задача 9.12. Распределение 30 хозяйств по массе внесения органических удобрений и уровню урожайности зерновых культур представлено в следующей таблице:
| Группы хозяйств по уровню урожайности зерновых культур, ц/га
| Группы хозяйств по массе внесения органических удобрений, т/га
| ||||
| до 4 | 4-8 | 8-12 | 12 и выше | Итого | |
| до 26 | 4 | 4 | 2 | - | 10 |
| 26–32 | - | 8 | 5 | 1 | 14 |
| 32 и выше | - | 1 | 1 | 4 | 6 |
| Итого | 4 | 13 | 8 | 5 | 30 |
Для характеристики связи между рассматриваемыми показателями исчислите: 1) теоретическое корреляционное отношение, если линией регрессии служит парабола второго порядка; 2) эмпирическое корреляционное отношение; 3) максимальный размер внесения органических удобрений на 1 га посевов, при котором уровень урожайности зерновых культур будет наивысшим; 4) исследуйте степень близости теоретического и эмпирического корреляционных отношений.
Задача 9.13. В результате специально организованного исследования были получены следующие данные о соотношениях уровня годовой производительности труда и процента текучести рабочих:
| Группы предприятий по уровню среднегодовой выработки, млн. р.
| Группы предприятий по уровню текучести рабочих, %
| ||||
| 10-14 | 14-18 | 18-22 | 22 и выше | Итого | |
| до 80 | - | - | 4 | 6 | 10 |
| 80-100 | 1 | 5 | 8 | - | 14 |
| 100-120 | 5 | 1 | - | - | 6 |
| 120 и выше | 10 | 10 | - | - | 20 |
| Итого | 16 | 16 | 12 | 6 | 50 |
Для оценки влияния размера текучести рабочих на уровень их среднегодовой выработки исчислите индекс корреляции, полагая, что связь между результативным и факторным признаками достаточно точно выражается уравнением гиперболы.
Задача 9.14. Линейные коэффициенты корреляции между процентом выполнения норм выработки (у), квалификацией (х) и стажем работы рабочих предприятия (z) оказались: ryx = 0,908; ryz =0,712; ; rxr=0,567.
Определите: 1) множественный (совокупный) коэффициент корреляции между процентом выполнения норм выработки и между двумя определяющими его факторами (квалификацией и стажем рабочих) ; 2) частные коэффициенты корреляции между: а) процентом выполнения норм выработки и квалификацией рабочих; б) процентом выполнения норм выработки и стажем работы рабочих;
3) множественный коэффициент детерминации. Сделайте выводы из результатов произведенных вами расчетов.
Задача 9.15. Коэффициенты частной детерминации результативного признака по трем его факторам составили: 0,25, 0,28 и 0,35. Определите: 1) совокупный (множественный) коэффициент корреляции; 2) множественный коэффициент детерминации. Произведите экономический анализ результатов решения, сформулируйте выводы, характеризующие меру влияния вариации каждого из факторов на вариацию результативного признака.
Задача 9.16. Линейные коэффициенты корреляции между уровнем результативного признака и тремя его факторами составили: 0,68; 0,80 и 0,75, а b–коэффициенты соответственно: 0,40; 0,50 и 0,38. Вычислите совокупный (множественный) и частные коэффициенты детерминации; 2) множественный коэффициент корреляции; 3) с уровнем значимости a = 0,05 критерий существенности множественного коэффициента корреляции (N=20); 4) изолированное значение коэффициентов детерминации; 5) величину сопутствующей вариации факторных признаков.
Задача 9.17. Имеются следующие данные по хозяйствам общественного сектора об уровнях выработки на одного работника, занятого в сельском хозяйстве, и факторах их определяющих:
| № п/п | Среднегодовая выработка на одного работника, млн. р. (Xl) | Нагрузка пашни на одного трудоспособного человека га/чел. (Х2) | Энерговооруженность труда, л.с/чел. (Х3) | Фондовооруженность одного работника, млн.р./чел. (Х4) | Удельный вес активной части основных фондов в общей их стоимости, % (Х5) |
| 1 | 13,6 | 7,3 | 34,0 | 18,3 | 44,5 |
| 2 | 9,8 | 8,4 | 31,8 | 16,2 | 30,2 |
| 3 | 12,0 | 8,0 | 36,0 | 18,6 | 30,8 |
| 4 | 8,5 | 7,5 | 22,8 | 15,8 | 38,1 |
| 5 | 8,4 | 8,5 | 26,3 | 12,1 | 34,3 |
| 6 | 10,2 | 9,9 | 33,9 | 15,4 | 30,3 |
| 7 | 8,2 | 7,6 | 27,6 | 12,6 | 26,3 |
| 8 | 9,1 | 8,8 | 31,7 | 15,6 | 36,2 |
| 9 | 13,3 | 10,0 | 34,2 | 16,8 | 34,6 |
| 10 | 10,8 | 9,5 | 30,1 | 14,6 | 43,5 |
| 11 | 8,8 | 7,6 | 23,1 | 12,2 | 39,6 |
| 12 | 9,7 | 7,6 | 28,2 | 14,9 | 40,7 |
| 13 | 8,8 | 8,7 | 25,7 | 12,5 | 41,2 |
| 14 | 8,5 | 8,2 | 26,1 | 13,3 | 46,5 |
| 15 | 11,1 | 9,8 | 31,6 | 13,5 | 35,1 |
| 16 | 7,4 | 6,0 | 16,7 | 7,6 | 35,7 |
| 17 | 7,6 | 9,9 | 33,2 | 13,9 | 42,8 |
| 18 | 8,0 | 12,2 | 40,1 | 13,0 | 39,3 |
| 19 | 10,1 | 15,1 | 45,1 | 21,6 | 32,5 |
| 20 | 9,9 | 10,2 | 37,8 | 18,6 | 45,3 |
На основе приведенных данных, используя программу STATISTIKA рассчитайте на ПЭВМ многофакторную регрессионную модель уровня производительности труда. Расшифровывая протокол решения задачи, поясните экономический смысл исчисленных статистических характеристик многофакторной корреляционно-регрессионной модели. Для оценки статистических критериев используйте уровень значимости a = 0,05.
Задача 9.18. Имеются следующие данные о внесении органических удобрений и уровне урожайности зерновых культур:
| № п/п | Внесено органических удобрений, т на 1 га (х) | Урожайность зерновых, ц/га (у) |
| 1 | 1 | 16 |
| 2 | 2 | 24 |
| 3 | 3 | 20 |
| 4 | 3 | 23 |
| 5 | 4 | 26 |
| 6 | 4 | 24 |
| 7 | 5 | 28 |
| 8 | 5 | 27 |
| 9 | 6 | 29 |
| 10 | 7 | 31 |
Вычислите: 1) значение коэффициента Фехнера; 2) ранговый коэффициент корреляции Спирмена.
Задача 9.19. Зависимость между вакцинацией населения с использованием противогриппозной сыворотки и заболеваемостью гриппом характеризуется следующим распределением пациентов:
| Не болевшие гриппом | Болевшие гриппом | Итого | |
| Принимавшие противогриппозную сыворотку | 50 | 7 | 57 |
| Не принимавшие противогриппозную сыворотку | 30 | 13 | 43 |
| Итого | 80 | 20 | 100 |
На основе приведенных данных исчислите коэффициенты ассоциации и контингенции.
Задача 9.20. Зависимость между объемом реализованной продукции, суммой накладных расходов на реализацию и себестоимостью единицы продукции представлена таблицей:
| № п/п п/п | Реализовано продукции, млрд. р. у | Накладные расходы на реализацию, млрд. р. х | Себестоимость единицы продукции, тыс. р. z |
| 1 | 120 | 12 | 680 |
| 2 | 190 | 16 | 700 |
| 3 | 110 | 8 | 490 |
| 4 | 290 | 20 | 500 |
| 5 | 180 | 15 | 600 |
| 6 | 240 | 14 | 650 |
| 7 | 360 | 39 | 550 |
| 8 | 260 | 13 | 690 |
| 9 | 150 | 10 | 510 |
| 10 | 210 | 17 | 560 |
На основе приведенных данных вычислите коэффициент конкордации.
Задача 9.21. Зависимость между себестоимостью продукции и накладными расходами на реализацию представлена таблицей:
| Накладные расходы
| Себестоимость
| Итого
| ||
| Низкая | Средняя | Высокая | ||
| Низкие | 19 | 12 | 9 | 40 |
| Средние | 10 | 20 | 10 | 40 |
| Высокие | 11 | 18 | 31 | 60 |
| Итого | 40 | 50 | 50 | 140 |
На основе данных, приведенных в таблице, определите коэффициент взаимной сопряженности по формуле К. Пирсона и по формуле А. А. Чупрова.
Задача 9.22. Исследуется зависимость уровня урожайности зерновых от сроков сева. Обработка опытных данных дала следующие результаты в пересчете на 1 га посевов:
| Сроки сева / урожайность, ц/га | Ранний сев | Оптимальные сроки сева | Запоздалый сев |
| Урожайность ц'ц/га | 20; 25;23;24;26 | 26;29;30;33;36 | 19; 20; 22;24;25 |
С уровнем значимости a = 0,05 проведите по методике однофакторного дисперсионного анализа оценку значимости (существенности) влияния сроков сева на различия в уровнях урожайности зерновых.
Задача 9.23. Исследуется зависимость удойности коров от различий их породности. При этом повторность породы коров производилась с учетом выравнивания по условиям содержания. Данные выборочных наблюдений представлены в следующей таблице:
| Виды породы коров
| Повторности среднегодового надоя молока на одну корову, ц
| ||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
| I | 20 | 22 | 26 | 25 | 27 |
| II | 22 | 24 | 28 | 25 | 30 |
| III | 25 | 28 | 30 | 36 | 34 |
| IV | 30 | 32 | 36 | 42 | 40 |
С уровнями значимости a = 0,05 и 0,025 проведите исследование по модели однофакторного дисперсионного анализа при рендомизировании блоков (с учетом повторностей).
Задача 9.24. Проведены опытные наблюдения зависимости урожайности пшеницы от сортов применяемых семян и от сроков сева. Результаты проведенных опытов дали следующие результаты:
| Виды сортов семян (фактор А) | Мироновская 808 A1
| Одесская 3 А2
| ||
| Сроки сева (фактор Б) | Оптимальный срок Б1 | Сев с опозданием сроков Б2 | Оптимальный срок Б1 | Сев с опозданием сроков Б2 |
| Урожайность, ц/га | 44;42;37; 44 | 35;38;37;34 | 36;33;37;35 | 30;31;34;33 |
С уровнями значимости a = 0,05 и 0,025 проведите двухфакторный анализ дисперсионный анализ. Дайте оценку значимости (существенности) влияния видов сортов семян и сроков сева на различия уровней урожайности пшеницы.
Задача 9.25. Исследуется влияние четырех вариантов (градаций) удобрений на урожайность ячменя. Наблюдение проводится по схеме латинского квадрата:
А–без применения удобрений;
В– с применением азотных удобрений;
С– с применением фосфатных удобрений;
D– с применением калийных удобрений.
Опытные участки выровнены по рядам и колонкам; сочетание квадратов случайное, т. е. в каждом квадрате наименование участков (в буквенном обозначении по латинскому алфавиту) не должны повторяться.
Результаты опытов оформлены в нижеприведенной таблице:
| Ряды
| Графы
| Итого по рядам
| Средние
| |||
| 1 2 3 4
| ||||||
| 1 | D-31,2 | А" 18,5 | B-20,0 | C-27,0 | 96,7 | 24,2 |
| 2 | В-21,5 | С-28,0 | D-33,4 | A-16,8 | 99,7 | 24,9 |
| 3 | С-26,7 | В-22,4 | A-19,5 | D-32,4 | 101,0 | 25,2 |
| 4 | А-19,8 | D-32,0 | C-27,6 | B-21,0 | 104,0 | 25,1 |
| Итого по графам | 99,2 | 100,9 | 100,5 | 97,2 | 397,8 | 24,9 |
| Средние | 24,8 | 25,2 | 25,1 | 24,3 | 24,9 | |
На основе приведенной комбинаций данных приведите дисперсионный анализ по схеме латинского квадрата. Оценку значимости (существенности) компонентов влияния на различия уровней урожайности ячменя дайте с уровнем значимости a = 0,05.
Задача 9.26. Имеются следующие данные о среднегодовой стоимости основных фондов и объеме выпуска товаров и услуг за 1998-2005 гг.:
| Год | Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млрд. р. (x) | Выпуск товаров и услуг в сопоставимых ценах, млрд. р. (у) |
| 1998 | 40 | 60 |
| 1999 | 42 | 65 |
| 2000 | 46 | 60 |
| 2001 | 44 | 55 |
| 2002 | 45 | 58 |
| 2003 | 48 | 62 |
| 2000 | 50 | 68 |
| 2005 | 55 | 70 |
На основе приведенных данных определите:
1) значение первого нециклического коэффициента корреляции по показателям среднегодовой стоимости основных фондов и объеме выпуска товаров и услуг и с уровнем значимости a = 0,05 подтвердите или отвергните наличие автокорреляции по обоим показателям ряда динамики;
2) произведите аналитическое выравнивание уровней обоих показателей по уравнению тренда прямой;
3) значения первых разностей (цепные абсолютные приросты);
4) коэффициенты корреляции при коррелировании значений первых разностей и остатков (отклонений исходных уровней ряда от их выровненных значений);
5) коэффициент автокорреляции для остаточных величин по каждому из уровней ряда динамики и соответственно оценка наличия (отсутствия) автокорреляции в остаточных величинах при a = 0,05;
6) критерий Дарбина - Уотсона по обоим уровням ряда динамики и сравнительные оценки наличия (отсутствия) автокорреляции в остаточных величинах при 5% уровне значимости;
7) уравнение регрессии прямой зависимости выпуска товаров и услуг от среднегодовой стоимости основных фондов: по данным первых разностей; на основе коррелирования отклонений (остатков) от уровней тренда; по результатам включения в уравнение регрессии порядкового номера фактора времени. По исчисленным уравнениям регрессии сделайте содержательные выводы.
Задача 9.27. По совокупности животноводческих ферм имеются следующие данные:
| № п/п | Средний надой молока в год, тыс. кг | Затраты кормовых единиц в расчете на одну корову в год, тыс. единиц |
| 1 | 3,1 | 3,7 |
| 2 | 3,5 | 3,5 |
| 3 | 4,0 | 4,6 |
| 4 | 3,5 | 3,8 |
| 5 | 4,8 | 5,2 |
| 6 | 3,2 | 3,9 |
| 7 | 5,0 | 5,8 |
| 8 | 4,4 | 5,0 |
| 9 | 3,1 | 3,8 |
| 10 | 2,9 | 3,6 |
| 11 | 5,4 | 6,3 |
| 12 | 5,1 | 6,0 |
Для анализа связи между затратами кормовых единиц в расчете на одну корову и средним надоем молока в год:
1. Постройте линейное уравнение регрессии, рассчитайте его параметры.
2. Определите линейный коэффициент корреляции.
3. Определите коэффициент эластичности.
4. Изобразите на графике эмпирическую и теоретическую линии регрессии.
5. Поясните экономический смысл коэффициента регрессии, линейного коэффициента корреляции и коэффициента эластичности.
Задача 9.28.По совокупности однородных предприятий имеются следующие данные:
| № п/п | Энерговооруженность труда 1 работающего, квт-ч | Производительность труда одного работающего, млн. ден. ед. |
| 1 | 29 | 10 |
| 2 | 60 | 25 |
| 3 | 43 | 15 |
| 4 | 32 | 11 |
| 5 | 57 | 20 |
| 6 | 46 | 18 |
| 7 | 45 | 14 |
| 8 | 30 | 12 |
| 9 | 52 | 19 |
| 10 | 28 | 10 |
| 11 | 35 | 13 |
| 12 | 47 | 21 |
Для анализа связи между энерговооруженностью труда одного работающего и его производительностью труда:
1. Постройте линейное уравнение регрессии, рассчитайте его параметры.
2. Определите линейный коэффициент корреляции.
3. Определите коэффициент эластичности.
4. Изобразите на графике эмпирическую и теоретическую линии регрессии.
5. Поясните экономический смысл коэффициента регрессии, линейного коэффициента корреляции и коэффициента эластичности.
Задача 9.29.По совокупности продовольственных магазинов имеются следующие данные:
| № п/п | Товарооборот, млн. ден. ед. | Издержки обращения, млн. ден. ед. |
| 1 | 200 | 14 |
| 2 | 50 | 6 |
| 3 | 80 | 8 |
| 4 | 120 | 10 |
| 5 | 150 | 11 |
| 6 | 175 | 13 |
| 7 | 110 | 10 |
| 8 | 90 | 8 |
| 9 | 100 | 9 |
| 10 | 60 | 7 |
| 11 | 75 | 7 |
| 12 | 140 | 11 |
Для анализа связи между товарооборотом и издержками обращения:
1. Постройте линейное уравнение регрессии, рассчитайте его параметры.
2. Определите линейный коэффициент корреляции.
3. Определите коэффициент эластичности.
4. Изобразите на графике эмпирическую и теоретическую линии регрессии.
5. Поясните экономический смысл коэффициента регрессии, линейного коэффициента корреляции и коэффициента эластичности.
Задача 9.30.По совокупности рабочих цеха имеются следующие данные:
| № п/п | Тарифный разряд | Выработка продукции за день, штук |
| 1 | 3 | 29 |
| 2 | 2 | 24 |
| 3 | 1 | 20 |
| 4 | 4 | 33 |
| 5 | 3 | 29 |
| 6 | 5 | 35 |
| 7 | 6 | 40 |
| 8 | 3 | 28 |
| 9 | 4 | 31 |
| 10 | 6 | 38 |
| 11 | 5 | 34 |
| 12 | 5 | 36 |
| 13 | 4 | 32 |
| 14 | 4 | 34 |
| 15 | 2 | 25 |
Для анализа связи между тарифным разрядом одного рабочего и его дневной выработкой:
1. Постройте линейное уравнение регрессии, рассчитайте его параметры.
2. Определите линейный коэффициент корреляции.
3. Определите коэффициент эластичности.
4. Изобразите на графике эмпирическую и теоретическую линии регрессии.
5. Поясните экономический смысл коэффициента регрессии, линейного коэффициента корреляции и коэффициента эластичности.
Задача 9.31.По совокупности однородных домашних хозяйств имеются следующие данные за квартал (на одно домашнее хозяйство):
| № п/п | Доход, млн. ден. ед. | Расходы на одежду и обувь, млн. ден. ед. |
| 1 | 1,5 | 0,7 |
| 2 | 3,0 | 1,4 |
| 3 | 3,2 | 1,3 |
| 4 | 2,8 | 1,2 |
| 5 | 2,0 | 0,9 |
| 6 | 1,8 | 0,8 |
| 7 | 2,6 | 1,2 |
| 8 | 3,1 | 1,4 |
| 9 | 1,7 | 0,7 |
| 10 | 1,9 | 0,8 |
| 11 | 2,0 | 0,7 |
| 12 | 2,9 | 1,2 |
| 13 | 1,6 | 0,6 |
| 14 | 2,5 | 1,0 |
| 15 | 2,4 | 1,1 |
Для анализа связи между доходами на одно домашнее хозяйство и расходами на одежду и обувь:
1. Постройте линейное уравнение регрессии, рассчитайте его параметры.
2. Определите линейный коэффициент корреляции.
3. Определите коэффициент эластичности.
4. Изобразите на графике эмпирическую и теоретическую линии регрессии.
5. Поясните экономический смысл коэффициента регрессии, линейного коэффициента корреляции и коэффициента эластичности.
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 596; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!