Вычисление площадей плоских фигур

Применение определенного интеграла

Прямоугольные координаты. Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая AB, уравнение которой y = f (x), где a ≤ x ≤ b (рис. 2).

Под длиной дуги AB понимается предел, к которому стремиться длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремиться к нулю. Применим схему I (метод сумм).

1.Точками X = a, X , … , X =b (X ≤ X ≤ … ≤ X ) разобьем отрезок [a, b] наn частей. Пусть этим точкам соответствуют точки M = A, M ,…, M = B на кривой AB.

Проведем хорды M M , M M ,…, M M , длины которых обозначим соответственно через ΔL ,ΔL ,…, ΔL .

Рис. 2

Получим ломанную M M M … M M , длина, которой равна L = ΔL + ΔL + … + ΔL = ΔL .

2.Длину хорды (или звена ломанной) ΔL можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами ΔX и ΔY :

ΔL = , где ΔX = X - X , ΔY = f(X ) – f(X ).

По теореме Лагранжа о конечном приращении функции ΔY = (C ) ΔX , где C (X , X ). Поэтому ΔL = = ,

а длина всей ломанной M M M … M M равна

L = ΔL = . Длина кривой AB, по определению, равна L = L = ΔL . Заметим, что при ΔL 0 также и ΔX 0 (ΔL = и следовательно | ΔX | < ΔL ). Функция непрерывна на отрезке [a, b], так как, по условию, непрерывна функция f (X). Следовательно, существует предел интегральной суммы L = ΔL = , кода max ΔX 0:

L = = dx.

Таким образом, L = dx.

Пример 1. Найти длину окружности радиуса R. (рис. 3).

Решение:Найдем ¼ часть ее длины от точки (0;R) до точки (R;0). Так как y = ,

¼L = dx = R arcsin = R .

Значит L = 2 R.

Полярные координаты

Пусть кривая AB задана уравнением в полярных координатах r = r( ), . Предположим, что r( ) и r ( ) непрерывны на отрезке [ ]. Если в равенствах x = rcos , y = rsin , связывающих полярные и декартовы координаты, параметром считать угол , то кривую AB можно задать параметрически , тогда

Поэтому = =

Применяя формулу L = , получаем L =

П ример 2.Найти длину кардиоиды r = a(1 + cos ).

Решение:Кардиоида r = a(1 +cos ) симметрична относительно полярной оси. Найдем половину (рис. 4) длины кардиоиды:

½ L = =

a = a =

2a cos d = 4a sin = 4a.

Вычисление объема тела.

Произвольное ограниченное множество точек пространства будем называтьтелом.

Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений.Пусть требуется найти объем V тела (рис. 5), причем известны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси Ox: S = S(x), a≤ x≤ b.

Применим схему II (метод дифференциала).

1.Через произвольную точку x [а; b]проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох. Обозначим через S(x) площадь сечения тела этой плоскостью; S(x) считаем известной и непрерывно изменяющейся при изменении x. Через v(x) обозначим объем части тела, лежащее левее плоскости П. Будем считать, что на отрезке [а; x]величина v есть функция от x, т. е.v = у(x) (v(a) = 0, v(b) = V).

2. Находим дифференциал dV функции v = v(x). Он представляет собой

“элементарный слой” тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках x и x + Δx, который приближенно может быть принят за цилиндр с основанием S(x) и высотой dx.Поэтому дифференциал объема dV = S(х) dх.

3.Находим искомую величину V путем интегрирования dА в пределах от a доb:

V = S(x) dx

Формула объема тела по площади параллельных сечений

Пример 3.Найти объем эллипсоида (рис. 6).

Рис. 6

ешение: Рассекая эллипсоид плоскостью,

параллельной плоскости OYZ и на расстоянии х от нее (-a≤ x≤ b.), получим эллипс

Площадь этого эллипса равна S(x) = bc(1 - ). Поэтому, по формуле имеемV = bc (1 - )dx = abc.

Объем тела вращения

Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией у = f(х) ≥ 0, отрезком а ≤ х ≤ b и прямыми х = а и

х = b (рис. 7). Полученная от вращения фигура называется телом вращения.Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Oх), есть круг с радиусом у = f(х).Следовательно, S(x)= y . Применяя формулу V = S(x) dx объема тела по площадипараллельных сечений, получаемV = y dx. Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции x = (x) ≥ 0 и прямыми x = 0, y = c, y = d (c < d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой

V = S(x) dx, равен V = x dy.

Пример 4.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями у = , x = 0, у = 2 вокруг оси Оу.

Решение: По формуле V = x dyнаходим:

V = 2ydy = y = 8 .

Пример 5.Найти объем тела, которое будет получено при вращении около оси абсцисс криволинейной трапеции у=1-х², у=0.

Решение:Объем тела вычисляется по формуле V= (x)dx. Найдем промежуток интегрирования 1-х²=0, имеем х₁=1 и х₂=-1. Поэтому V= + + = куб.ед.

Пусть кривая АВ является графиком функции у = f(х) ≥ 0, где х [а;b], а функция у = f(х) и ее производная у' = f'(х) непрерывны на этом отрезке.

Найдем площадь S поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси Ох (рис. 8). Применим схему II (метод дифференциала).

1 . Через произвольную точку х [а; b] проведем плоскость П, перпендикулярную осиОх. Плоскость П пересекает поверхность вращения по окружности с радиусом у - f(х). Величина S поверхности части фигуры вращения, лежащей левее плоскости, является функцией от х, т. е. s = s(х)

(s(а) = 0 и s(b) = S).

2. Дадим аргументу х приращение Δх = dх.Через точку х + dх [а; b]также проведем плоскость, перпендикулярную оси Ох. Функцияs = s(х) получит приращение Δs, изображенного на рисунке в виде “пояска”.

Найдем дифференциал площади ds, заменяя образованную между сечениями фигуру усеченным конусом, образующая которого равна dl, а радиусы оснований равны у и у + dу. Площадь его боковой поверхности равнаds= (у + у + dу) • d1 = 2 ydl + dydl.Отбрасывая произведение dу d1 как бесконечно малую высшего порядка, чем ds, получаем ds = 2 уdl, или, так как d1 = dx.

1.Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b,получаем

S = 2 y dx.

Если кривая AB задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), t ≤ t ≤ t , то формула для площади поверхности вращения принимает вид

S = 2 dt.

Пример 6.Найти площадь поверхности шара радиуса R.

Решение:Можно считать, что поверхность шара образована вращением полуокружности y = , -R ≤ x ≤ R, вокруг оси Ox. По формуле S = 2 y dx находим S = 2 =

Вычисление площадей плоских фигур.

Прямоугольные координаты

Пусть функция f(х) непрерывна на сегменте [а;b]. Если f(х )≥0 на [а; b]то площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями у =f(х), у = 0, х = а, х = b, равна интегралу Если же f(x) ≤ 0 на [а; b]то f(х) ≥ 0 на [а; b].Поэтому площадь S соответствующей криволинейной трапеции выразится формулой:

или

Е сли, наконец, кривая y=f(х) пересекает ось Ох, то сегмент [а;b]надо разбить на части, в пределах которых f(х) неменяет знака, и к каждой такой части применить ту из формул, которая ей соответствует.

Пример 7.Найти площадь плоской фигуры, ограниченной параболой y = x², прямыми х=1, х = 3 и осью Ох (рис. 9).

Решение: Пользуясь формулой , находим искомую площадь S =

Пример 8.Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функцииу = sinх и осью абсцисс при условии (рис. 10).

Р ешение:Разбиваем сегмент [0; ] на два сегмента [0; ] и [ ; 2 ]. На первом из нихsinx ≥ 0, на втором sinx ≤ 0. Следовательно, используя формулы и , имеем, что искомая площадь

Полярные координаты.

Пусть требуется определить площадь сектора ОАВ, ограниченного лучами = , = и кривой АВ (рис. 11), заданной в полярной системе координат уравнением r = r ( ), где r ( ) — функция, непрерывная на сегменте [ ; ].

Р азобьем отрезок [ ; ] на п частей точками

= о< 1 < ...< < = и положим: Δ = — k = 1, 2, ..., n. Наибольшую из этих разностей обозначим через : = max Δ .

Разобьем данный сектор на п частей лучами = (k=1, 2, ..., п — 1). Заменим k-й элементарный сектор круговым сектором радиуса r( ), где .

Тогда сумма - приближенно площадь сектора OAB. Отсюда:

Пример 9.Найти площадь плоской фигуры, ограниченной кардиоидой г =a(1+соs ) (рис. 12).

Решение:Учитывая симметричность кривой относительно полярной оси, по формуле получаем:

Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 285; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!