Практ. зан № 9 Тема 8 Производные и дифференциалы высших порядков. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций. Формула и ряд Тейлора
1. АЗ: [11], №№ 5.316, 5.322, 5.329, 5.331, 5.337, 5.339, 5.346, 5.349, 5.364, 5.380, 5.382, 5.394.
2. Образцы решения задач
2.1 
Найти 
Решение.
2.2 Найти 
если 
Решение . 
Сравнить приращение и дифференциал функции
Решение. Найдем 
Разность между приращением 
и дифференциалом 
есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с 
равная
2.4 Вычислить приближенное значение 
Решение.Полагаем 
Применим формулу
2.5 Найти дифференциал второго порядка функции 
.
Решение: Имеем 
, 
. Тогда 
.
2.6 Найти 
.
Решение.Имеем 
, 
, 
,
. Производные 
и 
существуют и конечны в окрестности точки 
, причем 
. Выполнены условия правила Лопиталя, применяя его, получим: 
.
2.7 Найти 
.
Решение.Это неопределенность вида 
. Положим 
.
Тогда 
.
Рассмотрим
.
Следовательно, 
3. ДЗ: [11], №№ 5.317, 5.323, 5.332, 5.338, 5.347, 5.365, 5.381, 5.383, 5.395.
Практ. зан. № 10. Тема 9 Раскрытие неопределенностей. Исследование поведения функций и их графиков. Приложения дифференциального исчисления к геометрии.
1. АЗ: [11], №№ 5.404, 5.413, 5.415, 5.440, 5.442, 5.452, 5.453, 5.461, 5.463.
[14], №№ АЗ- 6.10
2. Образцы решения задач
2.1 Найти интервалы возрастания и убывания функции 
. Исследовать функцию на экстремум.
Решение.Найдем производную 
и стационарные точки, решая уравнения 
. Определим знак производной 
в окрестности точки 
: 
при 
и 
при 
. Следовательно, в точке функция имеет минимум 
. Функция возрастает на интервале 
; убывает на интервале 
.
2.2 Исследовать на экстремум функцию 
. Найти интервалы возрастания и убывания.
Решение.Вычислим 
. Найдем стационарную точку 
.
Функция убывает при 
; возрастает при 
.
2.3 Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
на отрезке 
.
Решение.Найдем производную:
.
Критическая точка 
. Вычислим значения функции:
.
Итак, наименьшее значение функции равно 0, а наибольшее равно 8.
2.4 Найти точки перегиба кривой 
.
Решение. Находим 
, 
. Критическая точка второго рода: 
.
Определим знак 
в окрестности .
Следовательно, точка 
, т.е. (5,2) – точка перегиба.
2.5 Найти асимптоты кривой 
.
Решение.Функция определена в интервалах 
. Имеем 
, следовательно 
- вертикальная асимптота. Горизонтальных асимптот нет, так как предел 
не является конечной величиной. Находим:
.
.
Итак, наклонные асимптоты: 
, т.е. 
и 
.
2.6 Исследовать и построить график функции 
Решение.
1) 
2) 
, т.е. функции нечетная.
Поэтому график функции симметричен относительно начала координат. Следовательно, исследования проведем для 
.
Затем воспользуемся симметрией.
3) 
- точка пересечения с осями координат.
4) Найдем 
.
Решим уравнение 
. Исследуем только точку 
. Определим знак производной в окрестности этой точки.
Следовательно, 
; функция возрастает при 
и убывает при 
.
5). Вычислим:
.
Тогда 
. Определим знак 
в окрестности точке и 
Следовательно 
), т.е. 
– точка перегиба; кривая вогнута при 
и выпукла при 
.
6) Имеем 
, следовательно, 
- вертикальная асимптота.
Вычислим:
, т.е. горизонтальных асимптот нет.
Найдем:
,
.
Итак, , т.е. 
наклонная асимптота.
7). Вычислим:
;
; 
.
Построим график функции
3. ДЗ: [11], №№ 5.405, 5.406, 5.412, 5.414, 5.441, 5.454, 5.462.
[14], СР, стр. 204-205.
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 287; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!