Сложение вращений вокруг двух параллельных осей
Рассмотрим случай, когда относительное движение тела является вращением с угловой скоростью w 1 вокруг оси 
, укрепленной на кривошипе bа (рис. 7.1), а переносное движение является вращением кривошипа bа вокруг оси 
с угловой скоростью w 2.
Рис. 7.1
Если оси 
и 
параллельны, то движение тела будет плоскопараллельным по отношению к плоскости, перпендикулярной осям. Исследуем отдельно случаи, когда вращения направлены в одну и разные стороны.
Рис. 7.2
1. Вращения направлены в одну сторону. Изобразим сечение (S) тела плоскостью, перпендикулярной осям (рис. 7.2). Следы осей в сечении (S) обозначим буквами А и В. Очевидно, что точка А как лежащая на оси Аа' получает скорость только от вращения вокруг оси Вb',следовательно, 
. Аналогично 
. При этом векторы 
и 
параллельны друг другу (оба перпендикулярны АВ) и направлены в разные стороны. Тогда точка С (рис. 7.2) является мгновенным центром скоростей (
), а следовательно, ось Сс', параллельная осям Аа' и Вb', является мгновенной осью вращения тела.
Для определения угловой скорости w абсолютного вращения тела вокруг оси Сс' и положения самой оси, т. е. точки С, воспользуемся равенством
.
Из свойств пропорции получим
.
Подставив в это и предыдущее равенства 
, 
, найдем окончательно:
, (7.1)
. (7.2)
Итак, если тело участвует одновременно в двух направленных в одну сторону вращениях вокруг параллельных осей, то его результирующее движение будет мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью 
вокруг мгновенной оси, параллельной данным;положение этой оси определяется пропорцией (7.2).
|
|
|
С течением времени мгновенная ось вращения Сс' будет менять свое положение, описывая цилиндрическую поверхность.
2. Вращения направлены в разные стороны. Изобразим сечение (S) тела (рис. 7.3) и допустим для определенности, что w 1 > w 2.
Тогда, рассуждая, как в предыдущем случае, найдем, что скорости точек А и В будут численно равны: 
, 
; при этом 
и 
параллельны друг другу и направлены в одну сторону. Тогда мгновенная ось вращения проходит через точку С (рис. 7.3), причем
или по свойствам пропорций
.
Рис. 7.3
Подставив в эти равенства значения 
и 
, найдем окончательно
, (7.3)
. (7.4)
Итак, в этом случае результирующее движение также является мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью 
вокруг оси Сс',положение которой определяется пропорцией (7.4).
Полученные результаты показывают, что векторы угловых скоростей при вращении вокруг параллельных осей складываются так же, как векторы параллельных сил.
3. Пара вращений. Рассмотрим частный случай, когда вращения вокруг параллельных осей направлены в разные стороны (рис. 7.4), но по модулю 
. Такая совокупность вращений называется парой вращений, а векторы 
и 
образуют пару угловых скоростей. В этом случае получим, что 
и 
, т.е. 
= 
. Тогда мгновенный центр скоростей будет находиться в бесконечности, и все точки тела в данный момент будут иметь одинаковые скорости 
.
|
|
|
Рис. 7.4
Следовательно, результирующее движение тела будет поступательным (или мгновенно поступательным) движением со скоростью v,численно равной 
и направленной перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы 
и 
; направление вектора 
определяется так же, как в статике определялось направление момента т пары сил. Иначе говоря, пара вращений эквивалентна поступательному (или мгновенно поступательному) движению со скоростью v, равной моменту пары угловых скоростей этих вращений.
Примером такого движения является поступательное движение велосипедной педали DE относительно рамы велосипеда (рис. 7.5), являющееся результатом относительного вращения педали вокруг оси А,укрепленной на кривошипе ВА,и переносного вращения кривошипа ВА вокруг оси В. Угловые скорости 
и 
этих вращений по модулю равны, так как в любой момент времени угол поворота j 1 педали относительно кривошипа ВА равен углу поворота j 2кривошипа. Скорость поступательного движения педали 
.
|
|
|
Рис. 7.5
Пример 13. Кривошип ОА,вращаясь вокруг оси О с угловой скоростью wО в сторону вращения часовой стрелки, приводит в движение зубчатое колесо II, катящееся внутри неподвижного колеса III. Колесо II приводит в движение колесо I, находящееся с ним в зацеплении и вращающееся вокруг оси О ( рис. 7.6, a). Определить угловую скорость колеса I, если числа зубьев колес I и II соответственно равны z 1и z 2.
Рис. 7.6
Решение.
Разложим абсолютное вращение каждого колеса на два составляющих вращения: переносное вращение вместе с кривошипом вокруг оси О с угловой скоростью wе = wО и относительное вращение по отношению к кривошипу с угловой скоростью 
.
Двигаясь вместе с кривошипом, каждое колесо вращается вокруг его центра. Следовательно, относительное вращение каждого колеса происходит вокруг его центра, и относительные угловые скорости колес обратно пропорциональны радиусам колес или числам их зубьев.
Сначала устанавливаем относительную угловую скорость неподвижного колеса. Двигаясь вместе с кривошипом, неподвижное колесо вращается в направлении, обратном направлению вращения кривошипа, причем модуль его угловой скорости 
(рис. 7.6, б).
|
|
|
Колеса II и III образуют внутреннее зацепление, поэтому направления их относительных вращений совпадают. Направления относительных вращений колес I и II противоположны, так как их зацепление внешнее.
Воспользуемся зависимостью между модулями относительных угловых скоростей:
;
.
Перемножив части равенств, получим
,
откуда
.
Винтовое движение
Если сложное движение тела состоит из вращательного вокруг оси Аа с угловой скоростью w и поступательного со скоростью v, направленной параллельно оси Аа (рис. 7.7), то такое движение тела называется винтовым.
Рис. 7.7
Ось Аа называется осью винта. Если векторы 
и 
направлены в одну сторону, то при принятом нами правиле изображения w винт будет правым;если в разные стороны – левым. Расстояние, проходимое за время одного оборота любой точкой тела, лежащей на оси винта, называется шагом h винта. Если величины v и w постоянны, то шаг винта также будет постоянным. Обозначив время одного оборота через Т,получим
.
В то же время
,
откуда
. (7.5)
При постоянном шаге любая точка М, не лежащая на оси винта, описывает винтовую линию. Скорость точки М,находящейся от оси винта на расстоянии 
, складывается из поступательной скорости 
и перпендикулярной к ней скорости ωr, получаемой во вращательном движении. Следовательно,
. (7.6)
Вектор 
направлен по касательной к винтовой линии.
Контрольные вопросы и задания
1. Какое движение точки называется сложным?
2. Дайте определение относительного, переносного и абсолютного движений точки.
3. Как определяются скорости и ускорения относительного, переносного и абсолютного движений точки?
4. Каковы причины появления кориолисова ускорения?
5. Каковы модуль и направление кориолисова ускорения?
6. При каких условиях кориолисово ускорение равно нулю?
7. Какое движение твердого тела называется сложным?
8. Как осуществляется сложение поступательных движений?
9. Как осуществляется сложение вращений вокруг двух параллельных осей, когда вращения направлены в одну сторону?
10. Как осуществляется сложение вращений вокруг двух параллельных осей, когда вращения направлены в разные стороны?
11. Какое движение твердого тела называется винтовым?
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Тарг, С. М. Краткий курс теоретической механики: учеб. для втузов / С. М. Тарг. – 12-е изд., стереотип. – М.: Высш. шк., 1998. – 415 с.
2. Бутенин, Н. В. Курс теоретической механики: учеб. для втузов в 2-х т. / Н. В. Бутенин, Я. Л. Лунц, Д. Р. Меркин. – 3-е изд., испр. – М., 1985 (и последующие издания).
3. Яблонский, А. А. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: учеб. пособие для техн. вузов / А. А. Яблонский, С. С. Норейко, С. А. Вольфсон и др. / под ред. А. А. Яблонского. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1985. – 367 с. (и последующие издания).
4. Мещерский, И. В. Сборник задач по теоретической механике: учеб. пособие / И. В. Мещерский / под ред. Н. В. Бутенина, А. И. Лурье, Д. Р. Меркина. – 36-е изд., исправл. – М.: Наука, 1986. – 448 с. (и последующие издания).
5. Бать, М. И. Теоретическая механика в примерах и задачах: учеб. пособие для втузов в 3-х т. / М. И. Бать, Г. Ю. Джанелидзе, А. С. Кельзон. – 9-е изд., перераб. – М.: Наука, Гл.. ред. физ.-мат. лит., 1990.
6. Вильке, В. Г. Теоретическая механика: учебник / В. Г. Вильке. – 2-е изд., перераб. и доп.–М.: Изд-во МГУ, 2000. – 719 с.
7. Голубев, Ю. Ф. Основы теоретической механики: учебник для студ. высш. учеб. заведений / Ю. Ф. Голубев. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: МГУ, 2000. – 719 с.
8. Цивильский, В. Л. Теоретическая механика: учеб. для вузов / В. Л. Цивильский. – М.: Высшая школа, 2001. – 319 с.
9. Яблонский, А. А. Курс теоретической механики: учеб. для тех. вузов / А. А. Яблонский, В. М. Никифорова. – 7-е. изд. – СПб: Лань, 1999. – 768 с.
10. Аркуша, А. И. Руководство к решению задач по теоретической механике: учеб. пособие для студ. сред. спец. учеб. заведений / А. И. Аркуша.– 7-е изд., стереотип. – М.: Высшая школа, 2004. – 336с.: ил.
11. Мещерский, И. В. Задачи по теоретической механике: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / И. В. Мещерский. – 39-е изд., стереотип. – М.: Лань, 2002. – 448 с.
12. Уиттекер, Э. Т. Аналитическая динамика / Э. Т. Уиттекер; пер. с англ. – Ижевск: Изд. дом «Удмуртский университет», 1999. – 588 с.
13. Арнольд, В. И. Математические методы классической механики: учебное пособие для студ. / В. И. Арнольд. – 5-е. изд., стереотип. – М.: УРСС, 2003. – 416 с.
14. Серегин, Г. В. Техническая механика. Теоретическая механика: программа, методические указания и контрольные работы / Г. В. Серегин, В. М. Потапов, Е. Н. Миронов. – Новосибирск: Изд. НГПУ, 1997. – 47 с.
15. Потапов, В. М. Основы техники: учебное пособие / В. М. Потапов, В. В. Крашенинников. – Новосибирск: Изд. НГПУ, 1999. – 52 с.
16. Потапов, В. М. Введение в прикладную механику: учебное пособие / В. М. Потапов, В. В. Крашенинников, И. Н. Лукина, Е. Н. Миронов. – Новосибирск.: Изд. НГПУ, 2003. – 180 с.
17. Бутенин, Н. В. Введение в аналитическую механику: учеб. пособие / Н. В. Бутенин, Н. А. Фуфаев. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. – 256 с.
18. Добронравов, В. В. Основы аналитической механики: учеб. пособие для вузов / В. В. Добронравов. – М.: Высшая школа, 1976. – 263с.: ил.
19. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика: учеб. пособие для физ. специальностей ун-тов / Л.Д. Ландау, Е. М. Лифшиц.– изд. 3-е., испр. и доп. – М.: Наука, 1973. – 208 с.: ил. – Т.1. Механика.
20. Никитин, Н. Н. Курс теоретической механики: учеб. для машиностроит. и приборостроит. спец. вузов / Н. Н. Никитин. – 5-е изд., перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1990. – 606с.: ил.
21. Савельев, И. В. Основы теоретической физики / И. В. Савельев. – М.: Наука, 1991. – 493 с.: ил. – Т.1. Механика. Электродинамика.
22. Бражниченко, Н. А. Сборник задач по теоретической механике: учеб. пособие для вузов / Н. А. Бражниченко, В. Л. Кан, Б. Л. Минцберг, В. И. Морозов / под ред. Н. А. Бражниченко. – 4-е изд., испр. – М.: Высшая школа, 1986. – 480 с.: ил.
23. Кепе, О. Э. Сборник коротких задач по теоретической механике: учеб. пособие / О. Э. Кепе, Я. А. Виба, О. П. Грапис и др. / под ред. О. Э. Кепе – М.: Высшая школа, 1989. – 368 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От авторов..................................................................................................... 3
1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ............................................................................ 4
1.1. Способы задания движения точки..................................................... 5
1.2. Скорость и ускорение точки............................................................ 11
2. ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА.............................. 28
2.1. Поступательное движение твердого тела...................................... 28
2.2. Вращательное движение твердого тела......................................... 29
3. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА......... 38
3.1. Уравнения плоского движения........................................................ 38
3.2. Определение скоростей точек плоской фигуры........................... 44
3.3. Определение ускорений точек плоской фигуры.......................... 51
3.4. Примеры решения задач по кинематике плоского движения..... 54
3.5. Определение скоростей точек графическим методом. План скоростей 80
4. СФЕРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА............................. 85
4.1. Уравнение сферического движения. Углы Эйлера...................... 85
4.2. Определение скорости при сферическом движении.................... 86
4.3. Определение ускорений при сферическом движении................. 88
5. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА 89
6. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ.......................................................... 93
6.1. Относительное, переносное и абсолютное движение.................. 93
6.2. Определение скорости точки при сложном движении................ 96
6.3. Определение ускорения точки при сложном движении. Теорема Кориолиса....................................................................................................................... 98
7. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА.................................... 107
7.1. Сложение поступательных движений.......................................... 107
7.2. Сложение вращений вокруг двух параллельных осей.............. 107
7.3. Винтовое движение.......................................................................... 114
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА...................................................... 116
Учебное издание
Владимир Васильевич Алексеев
Александр Всеволодович Кириллов
Владимир Михайлович Потапов
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
КИНЕМАТИКА
Учебно-методическое пособие
Редактор Е. А. Бутина
Компьютерная верстка Е. В. Кубракова
Лицензия ЛР № 020059 от 24.03.97
Гигиенический сертификат № 54.НК.05.953.П.000149.12.02 от 27.12.02
Подписано в печать 15.08.2008. Формат бумаги 60х84/16. Печать RISO.
Объем 7,5 печ. л. Тираж 300 экз. Заказ №
Педуниверситет, 630126, г. Новосибирск, 126, Вилюйская, 28
Дата добавления: 2016-01-04; просмотров: 25; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!