Основные свойства определенного интеграла
1) 
; 2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
, где 
- постоянная.
Правила вычисления определенного интеграла
1) Формула Ньютона-Лейбница:
,
где 
- первообразная для 
.
2) Интегрирование по частям:
,
где 
и 
- непрерывные и дифференцируемые функции на отрезке 
.
3) Замена переменной:
,
где 
- функция, непрерывная вместе со своей производной 
на отрезке 
.
4) 
Пример 29 Вычислить:
.
Решение.
По формуле Ньютона-Лейбница будем иметь:
Пример 30. Вычислить:
.
Решение.
Используем формулу интегрирования по частям:
= 
Пример 31 Вычислить:
.
Решение.
Сделаем замену переменной: 
; 
; 
.
Приложения определенного интеграла
Вычисление площадей плоских фигур
Используя геометрический смысл определенного интеграла, нетрудно получить формулу для вычисления площади плоской фигуры, ограниченной кривыми 
и прямыми 
:
.
Пример 32
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой 
и осью 
.
Решение.
Парабола пересекает ось в точках 
и 
,
.Поэтому: 
(кв.ед.).
Вычисление объемов тел вращения
При вращении криволинейной трапеции, ограниченной линиями: 
, 
, 
; 
вокруг оси , получим объем тела вращения:
.
Пример 33
Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси 
фигуры, ограниченной кривой 
и прямой 
.
Решение.
Для построения кривой найдем точки:
при 
, 
; при , 
.
А(1,0); В(2,1)
Вычисление длины дуги плоской кривой
Если кривая 
имеет непрерывную производную на отрезке 
, то длина дуги этой кривой находится по формуле:
.
Пример 34
Найти длину дуги кривой 
от 
до ( 
).
Решение.
Найдем 
. Тогда 
.
Вопросы для самопроверки
1. Что называется интегральной суммой для функции 
на отрезке ?
2. Что называется определенным интегралом?
3. Каковы геометрический и физический смыслы определенного интеграла?
4. Назовите основные свойства определенного интеграла.
5. Назовите основные методы (правила) вычисления определенного интеграла.
6. Перечислите основные приложения определенного интеграла.
Индивидуальные задания для контрольной работы №2
Задача №1
Найти производные функций
1. а) 
, б) 
,
в) 
, г) 
,
д) 
.
2. а) 
, б) 
,
в) 
, г) 
,
д) 
.
3. а) 
, б) 
,
в) 
, г) 
.
д) 
.
4. а) 
, б) 
,
в) 
, г) 
,
д) 
.
5. а) 
, б) 
,
в) 
, г) 
,
д) 
.
6. а) 
, б) 
,
в) 
, г) 
,
д) 
.
7. а) 
, б) 
,
в) 
, г) 
,
д) 
.
8. а) 
, б) 
,
в) 
, г) 
,
д) 
.
9. а) 
, б) 
,
в) 
, г) 
,
д) 
.
10. а) 
, б) 
,
в) 
, г) 
,
д) 
.
11. а) 
, б) 
,
в) 
, г) 
,
д) 
12. а) 
, б) 
,
в) 
, г) 
,
д) 
13. а) 
, б) 
,
в) 
, г) 
,
д) 
14. а) 
, б) 
,
в) 
, г) 
,
д) 
15. а) 
, б) 
,
в) 
, г) 
,
д) 
16. а) 
, б) 
,
в) 
, г) 
,
д) 
17. а) 
, б) 
,
в) 
, г) 
,
д) 
18. а) 
б) 
в) 
г) 
,
д) 
19. а) 
, б) 
,
в) 
, г) 
,
д) 
20. а) 
, б) 
,
в) 
, г) 
,
д) 
Задача №2
Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить ее графики:
1. 
. 7. 
. 14. 
.
2. 
. 8. 
. 15. 
.
3. 
. 9. 
. 16. 
.
4. 
. 10. 
. 17. 
.
5. 
. 11. 
. 18. 
.
6. 
. 12. 
. 19. 
.
13. 
. 20. 
.
Задача №3
Найти неопределенные интегралы способом подстановки (методом замены переменного).
1. 
7. 
14. 
2. 
8. 
15. 
3. 
9. 
16. 
4. 
10. 
17. 
5. 
11. 
18. 
6. 
12. 
19. 
13. 
20. 
Задача №4
Найти неопределенные интегралы, используя выделение полного квадрата.
1. 
11. 
2. 
12. 
3. 
13. 
4. 
14. 
5. 
15. 
6. 
16. 
7. 
17. 
8. 
18. 
9. 
19. 
10. 
20. 
Задача №5
Найти неопределенные интегралы, применяя метод интегрирования по частям.
1. 
11. 
2. 
12. 
3. 
13. 
4. 
14. 
5. 
15. 
6. 
16. 
7. 
17. 
8. 
18. 
9. 
19. 
10. 
20. 
Задача №6
Найти неопределенные интегралы, пользуясь разложением рациональных дробей на простейшие.
1. 
11. 
2. 
12. 
3. 
13. 
4. 
14. 
5. 
15. 
6. 
16. 
7. 
17. 
8. 
18. 
9. 
19. 
10. 
20. 
Задача №7
Вычислить площадь, ограниченную заданными параболами.
1. y= 
-x+1; 7. у=2 
-6х+1;
у= - +3x+6. у= - +х-1.
2. y= +x+2; 8. у= 
-2х+4;
y= - -5x+7. у= - 
-х+2.
3. y= -3x+2; 9. у= -5х-3;
y= - -2x+4. у= - 3 +2х-1.
4. y=2 +6х-3; 10. у= -2х-5;
y= - +х+5. у= - -х+1.
5. y=3 -5х-1; 11. у= 
-2х-5;
y= - +2х+1. у= - 
-х+1.
6. у= -3х-1; 12. у= +3х-2;
у= - -2х+5. у= - -х+3.
Задача №8
Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной заданными параболой, прямой и осью Ох.
1. y= 
; 11. у=2 ;
у= - 2х +4. у= - 3х +14.
2. y= ; 12. у= ;
y = - x+2. у= - х +6.
3. y = 3 ; 13. у =3 ;
y = - x+4. у =- 2х+5.
4. y = ; 14. у = ;
y = - х+3. у = - 2х+9.
5. y = ; 15. у = ;
y = -3х +8. у = - 2х+6.
6. у = ; 16. у = 2 ;
у= - 3х +12. у = - х+10.
7. у = 4 ; 17. у =3 ;
у = - 2х +2. у =- 3х+6.
8. у = ; 18. у= ;
у = - 
х+2. у =-2х +5
9. у =4 ; 19. у = ;
у= - 2х +6. у = - х +3.
10. у= ; 20. у =3 ;
у= - х+3. у = -5х +8.
Задача №9
Найти длину дуги кривой.
1. y = 
, 11. 
, отсеченной
. осью Ох.
2. y =ln sin x, 12. 
. 13. 
между
3. y = 1-ln cos x, точками пересечения с осями
. Оу и Ох.
4. у = ln x, 14. 
, отсеченной
прямой х= -1.
5. у =ln cos x, 15. у =ln(sin x) ,
.
6. у = 
16. y= ln(1- ),
.
7. 
отсеченной 17. 
отсеченной
прямой 
. прямой 
.
8. 
18. у =ln x,
.
9. 
19. y = ln (1- ),
.
10. 
, отсеченной 20. 
,
прямой х=4 . 
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Письменный Д. Т.
Конспект лекций по высшей математике : полный курс / Д. Т. Письменный . - 9-е изд. - М.: Айрис-Пресс, 2008. – 280с.- Ч. 1.
2. Пискунов Н. С.
Дифференциальное и интегральное исчисления: учеб. пособие для вузов / Н. С. Пискунов. - изд. стер.. - М.: Интеграл-Пресс, 2006. – 415 с. Т.1.
3. Шипачев В.С.
Курс высшей математики: учебник для вузов / В.С.Шипачев; Под редакцией А.Н. Тихонова. – 3-е изд., испр. – М.: Издательство Оникс, 2007 – 600с.: ил.
4. Берман Г. Н.
Сборник задач по курсу математического анализа: учеб. пособие / Г. Н. Берман. - 22-е изд., перераб. - СПб.: Профессия, 2006 - 432 с.
5. Лунгу К.Н.
Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие / К.Н.Лунгу и др.- 7-е изд..- М.: Айрис Пресс, 2008.- 574 с.
6. Шипачев В. С.
Задачник по высшей математике: учеб. пособие для вузов / В. С. Шипачев. - 8-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2008. - 304 с.: ил.
7. Данко П. Е.
Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова . - 6-е изд.. - М.: ОНИКС.- 2008 .-368 с.- Ч.1.
Дата добавления: 2022-12-03; просмотров: 104; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!