НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ. ТОЧКИ РАЗРЫВА.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

1. Функции, пределы, бесконечно большие, бесконечно малые.

Рассмотрим два множества X и Y, элементами которых могут быть любые объекты. Допустим, что каждому элементу х множества Х по некоторому закону поставлен в соответствие не более одного элемента множества У, который обозначим у = f (х). Тогда f называют функцией из Х в У (или отображением множества X в Y ).

х – область определения функции.

f ( X ) – множество значений функции. f (х) – это часть (или все) множества Y.

х – независимая переменная – аргумент.

Равенство у = f (х) означает, что применив к аргументу х закон f, найдем соответствующее этому х значение у.

Способы задания функции: словесный, табличный, аналитический (формулой), графический.

Основные элементарные функции:

1) Степенная функция у = х^α, где R ( R – множество действительных чисел).

2) Показательная функция у = а^х, где а>0, а≠1.

3) Логарифмическая функция у = , где а>0; а≠1.

4) Тригонометрические функции y = ; y = ; y = tg x ; y = ctg х.

5) Обратные тригонометрические функции у = arcsin x ; у = arcos x ; у = arctg x ; у = arcctg x.

Некоторые классы элементарных функций:

1) Целая рациональная функция (многочлен)

у = а₀х ⁿ + а₁х ⁿ ^-1 + а₂ х ⁿ ^-2 + … + а _n _-1 х + а _n,

где n – целое неотрицательное число (степень многочлена);

а₀; а_1; а_{2; …} а _n – постоянные числа (коэффициенты).

2) Дробно–рациональная функция – отношение двух целых рациональных функций:

Пусть функция f(x) определена на множестве N ={1, 2, 3,… n …}- всех натуральных чисел.

Её называют бесконечной числовой последовательностью.

Обозначим f ( n )= x_n, тогда последовательность можно записать так:

{ x_n }= x ₁ ; х₂; х₃…х _n_….

Последовательность считается заданной, если известен закон ее образования, т.е. правило, по которому можно определить любой член последовательности.

Число а называют пределом членовой последовательности {xn}, если для любого , существует такой , начиная с которо

: _n - a | .

Интервал (а - ) называют окрестностью точки а.

х _n ( ; a + ) |х _n – а| <

Символическая запись: х _n = a (х _n → a, т.е. х _n сходится к а).

{x_n} - называют сходящейся последовательностью, если она имеет предел.

{x_n} - расходящаяся, если нет предела, т.е.

Примеры:

1) x_n =

{x_n}: 1; ; ; ; … ….

при n → ∞ → 0, т.е.

2) x_n =

{x_n}: ; ; ; ; … ….

при n → ∞ → 1, т.е .

3) x_n = n ²

{x_n}: 1; 4; 9; 16 … n ²…

при n → ∞ n ² → ∞ n ² = ∞ - нет предела.

Если предел последовательности {x_n} равен 0, то её называют бесконечно малой, если ∞, то бесконечно большой

x_n = 0 {x_n} – бесконечно малом
x_n = ∞ {x_n} – бесконечно большом.

Если {x_n} – бесконечно малом, то – бесконечно большая и наоборот.

Теоремы о пределах.

Если а _n = a ; b_n = b, то

1) (a_n b_n) = a_n ± b_n = a+b

2) (a_n b_n) = a_n b_n = ab

3) ka_n = k a_n= ka (k-число)

4) = =

Примеры:

2) = = =

4) - нет предела

Число А называется пределом функции f ( x )

x → a, если для любого числа ε > 0 можно указать такое число δ > 0, что для любого х ≠ а удовлетворяющего неравенству |х – а| < δ выполняется неравенство |f ( x ) – А|< ε

Если А₁ является пределом функции f ( x ) в точке a, х а, то А₁ – предел функции слева, и обозначается

Если А₂ является пределом функции f ( x ) в точке а и х>а, то А₂ – предел функции справа и обозначается

А₁; А₂ – односторонние пределы.

Если , то f ( x ) – бесконечно малая при х→а.

Если , то f ( x )- бесконечно большая при х→а.

Если f ( x ) – бесконечно малая, то - бесконечно большая и наоборот.

Теоремы о пределах:

Если существуют пределы функций f ( x ) и φ(х) при х→а, то

3) ; если ≠0

4) Если f ( x ) – элементарная функция, то

Например: =

ar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

Следствия:

2) n N ; =

3) Предел многочлена

P ( x ) = a ₀ xⁿ + a ₁ xⁿ ^-1 +…+ a_n при x → a

4) Предел дробно-рациональной функции

R ( x ) = при х→а равен значению этой функции при х= Q, если а принадлежит области определения функции .

Замечательные пределы:

При вычислении пределов функции используем следующее:

1) Если функции f ( x ) определена в предельной точке х=а, то

Примеры:

а) А= -

воспользуемся теоремами о пределах:

А= +2

б) B=

2) Если функция f ( x ) не определена в предельной точке, то имеет место неопределенность.

Она может иметь вид

Элементарные приемы раскрытия неопределенностей:

а) сокращение на множитель, создающий неопределенность;

б) деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента (для отношения многочленов при х→∞);

в) применение эквивалентных бесконечно малых;

г) использование замечательных пределов и следующих свойств:

, если , т.е.

, если f ( x )=0, т.е.

, если f ( x ) а , т.е.

, если f ( x ) ; а , т.е.

Примеры:

а) А=

ctg (x-3)=∞; ln(4-х)=0 А=∞;

б) А= так как существует и конечен,

( , существует, конечен и не равен 0, то

в) А= при подстановке предельного значения имеем , значит А=∞;

г) А= Имеем неопределенность вида .

Делим числитель и знаменатель на старшую степень х на х².

При являются бесконечно малыми;

д) Имеем неопределенность вида {∞ - ∞}.

До множим и разделим на сокращенное выражение

е) Имеем неопределенность вида , так как многочлен в числителе и знаменателе имеют корень -1. Надо сократить дробь на критический множитель x+1:

ar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">