Верные знаки числа. Значащие цифры. Округление чисел

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЧИСЛА

1. Теоретическая часть

1.1. Источники и классификация погрешностей компьютерных вычислений

Компьютерные вычисления, как правило, производятся с приближенными числами. Уже исходные данные для расчета обычно даются с некоторыми погрешностями; в процессе расчета еще накапливаются погрешности от округления, от применения приближенных формул и т.д.

Погрешностью называют отклонение истинного значения от приближенного. Полная погрешность компьютерных вычислений состоит из неустранимой и устранимой погрешностей.

К неустранимым погрешностям относят:

1) Погрешность математической модели, связанную с приближенным описанием реального объекта.

2) Погрешность исходных данных. Причины возникновения погрешности: погрешность применяемых средств измерений (данные неточно измерены); исходные данные являются результатом решения некоторых вспомогательных задач.

Неустранимая погрешность никаким образом не может быть уменьшена в процессе вычислений.

К устранимым погрешностям относят:

1) Погрешность метода вычислений – погрешность, обусловленная несовершенством метода, а также упрощениями, положенными в основу методики.

2) Вычислительная погрешность, связанная с форматом хранения чисел в памяти компьютера. Длина мантиссы конечна, поэтому компьютерные вычисления оперируют числами с ограниченным количеством знаков после запятой, в то время множество действительных чисел бесконечно и непрерывно. Отсюда возникает вычислительная погрешность.

Устранимая погрешность может быть уменьшена выбором более точных методов и увеличением разрядности вычислений. Чем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точность представления действ. числа.

В целом у погрешностей есть одно свойство: при вычислениях они накапливаются, порождая новые погрешности.

1.2. Абсолютная и относительная погрешности

Пусть - точное значение величины (точное число), - приближенное значение величины (приближенное число).

Абсолютной погрешностью приближенного числа называется величина . Как правило, точное число неизвестно. В этом случае используют оценку сверху абсолютной погрешности, так называемую предельную абсолютную погрешность, под которой понимается всякое число , такое, что. . Для краткости записывают .

Относительной погрешностью приближенного числа называется величина , ( ). Предельной относительной погрешностью приближенного числа называют всякое число , такое, что . Обычно полагают .

Верные знаки числа. Значащие цифры. Округление чисел

При округлении приближенных чисел используют такие понятия, как верные и значащие цифры. Цифра приближенного числа называется верной, если имеет место неравенство , где . В противном случае - сомнительная цифра. Обычно полагают .

Например, дано десятичное число с абсолютной погрешностью . Найти все верные цифры числа, полагая .

Расставим разряды: .

Первая цифра этого числа «3». Проверяем неравенство: . Неравенство выполняется, значит, данная цифра верная.

Следующая цифра – «2», неравенство также верное, значит цифра «2» – верная.

Цифра «0». Соответствующее неравенство , выполняется, а значит и сама цифра верная.

Рассмотрим следующую цифру «4»: для нее неравенство , уже не выполняется, следовательно, эта цифра, а также все последующие будут сомнительными.

Т/о, верными цифрами числа будут цифры «3», «2», «0».

Приближенные числа следует записывать, сохраняя только верные знаки.

Значащими цифрами приближенного числа называют все его верные цифры, начиная с первой ненулевой слева. Округление числа представляет собой отбрасывание значащих цифр справа до определенного разряда с возможным изменением цифры этого разряда.

Погрешности функции

Теорема 1. Пусть функция определена и дифференцируема на некотором промежутке . Пусть - приближенное значение аргумента , - предельная абсолютная погрешность значения . Тогда предельная абсолютная погрешность вычисления функции .

Пусть - точные числа;

- приближенные числа;

- соответствующие предельные абсолютные погрешности.

Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Пусть . Тогда .

2. Пусть . Тогда , . (3)

3. Пусть , причем ( ). Тогда .

4. Если , где , то

5. Пусть . Тогда .

Теорема 1. Пусть функция определена и дифференцируема в некоторой области . Пусть - приближенные значения аргументов ; - предельные абсолютные погрешности значений , . Тогда предельная абсолютная погрешность вычисления функции