Резонанс – явление резкого возрастания амплитуды установившихся колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной резонансной частоте системы.
Найдем, при какой частоте вынуждающей силы амплитуда вынужденных колебаний будет иметь максимальное значение. Для этого найдем экстремум амплитуды: 
,
.
Первое решение: W = 0 соответствует постоянной сдвигающей силе и отсутствию вынужденных колебаний.
Второе (ограниченное) решение: 
называется резонансной частотой системы. Отсюда вытекает условие возникновения резонанса: 
.
Амплитуда колебаний при резонансе:
.
Предельное значение амплитуды вынужденных колебаний при постоянной (сдвигающей) силе (когда W = 0) – это статическое отклонение на величину 
.
Рассмотрим отношение 
.
При резонансе оно примет вид: 
.
Обозначим 
и построим графики зависимости амплитуды от частоты для различных значений параметров. (График зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты называется резонансной кривой).
Зависимость резонансной частоты и резонансной амплитуды
От параметра затухания
| b/w0 | 0,04 | 0,07 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 |
| W/w0 | 0,998398718 | 0,995088 | 0,989949 | 0,959166 | 0,905539 | 0,824621 |
| 12,52004813 | 7,178117 | 5,050763 | 2,60643 | 1,840525 | 1,515848 |
Резонансная кривая
График зависимости разности фаз от частоты
Ширина резонансной кривой 
- это интервал частоты, в пределах которого амплитуда колебаний отличается от резонансной амплитуды в пределах 
. (Или энергия колебаний отличается не более чем в 2 раза).
Учитывая, что 
и 
,
находим: 
, или
, 
.
Откуда получаем квадратное уравнение: 
.
Дискриминант этого уравнения: 
.
Решение квадратного уравнения:
.
Так как величина 
, то 
.
Откуда находим (только положительные решения):
и 
.
Поэтому для ширины резонансной кривой получаем следующее соотношение:
.
Следовательно, такой параметр определён при значении 
.
Найдем отношение 
при малом значении 
:
,
или 
.
Учтем, что при малых b выполняется 
, поэтому
,
где величины w, d, Q характеризуют затухающие свободные колебания данной колебательной системы.
Рассмотрим также отношение .
Для малого затухания b: 
.
Следствия.
1) Для вынужденных колебаний добротность колебательной системы характеризует резонансные свойства колебательной системы. Добротность равна отношению резонансной частоты к широте резонансной кривой (при малом затухании). Отсюда следует, что чем выше добротность, тем уже («острее») резонансная кривая: 
.
2) Добротность при малом затухании также характеризует отношение амплитуды при резонансе к статическому отклонению системы под действием постоянной силы такой же величины: 
.
Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 35; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!