Достатня умова диференційовності функції двох змінних у точці

ЛЕКЦІЯ 22. Диференційовність функції двох змінних

ПЛАН

1. Частинні та повний прирости функції двох змінних

2. Диференційовність функції двох змінних

3. Достатня умова диференційовності функції двох змінних у точці

4. Диференціювання складної функції

5. Дотична площина та нормаль

6. Похідна за напрямом. Градієнт

7. Частинні похідні і повні диференціали вищих порядків

1. Частинні та повний прирости функції двох змінних

Нехай функція  визначена в деякому околі точки . Надамо незалежним змінним x та y приросту відповідно  та  так, щоб точка  не виходила за межі вказаного околу. Тоді й точки ,  також належатимуть розглядуваному околу (рис. 1).

Рис. 1

Означення 1. Різницю  називають повним приростом функції  при переході від точки  до точки  і позначають . Різницю  називають частинним приростом за х, а різницю  - частинним приростом за y функції ; їх позначають відповідно  і . Таким чином,

,

, .

Зауваження . Аналогічно визначаються прирости функції більш ніж двох змінних.

Диференційовність функції двох змінних

Означення 2. Функція  називається диференційовною у точці , якщо її повний приріст  можна подати у вигляді:

,

де А, В — числа, a, b — нескінченно малі при .

Головна лінійна частина приросту функції, тобто  називається повним диференціалом функції (точніше першим дифе­ренціалом) двох змінних у точці  і позначається

.

Теорема 1 . Якщо функція  диференційовна в точці , тоді існують границі  та  і вони дорівнюють відповідно А і В.

Означення 3 . Нехай функція  визначена в точці  і в її деякому околі. Якщо існує границя , то вона називається частинною похідною за х (за у) функції  у точці  і позначається , або , або . Таким чином, , . Із означення частинних похідних матимемо, що вони шукаються за тими правилами, що й похідні функції однієї змінної. Треба лише пам’ятати, що при знаходженні  у вважається сталою, а при знаходженні  змінна х вважається сталою.

Тепер можна сформулювати теорему 1 інакше:

Теорема 2 (необхідна умова диференційовності функції  у точці).

Якщо функція  диференційовна в точці , то в цій точці існують частинні похідні  і .

Приклад. Знайти  і  для функції .

Знайдемо . Вважаючи, що  дістанемо:

.

При знаходженні  вважаємо, що  Дістанемо:

.

Приклад. Знайти  і  для функції .

Знайдемо , вважаючи

Знайдемо , вважаючи

.

Приклад. Для функції  знайти  і :

,

Диференціали незалежних змінних збігаються з їхніми приростами: , . Тоді, як випливає із означення повного диференціала і теореми 13, повний диференціал функції  можна обчислити за формулою

.

Аналогічно повний диференціал функції трьох аргументів  обчислюється за формулою

.

Приклад. Знайти  якщо .

,     ,     .

Отже, .

Приклад. Знайти , якщо .

, де

;

, отже,

.

Геометричний зміст частинних похідних. Якщо функцію , що має частинні похідні в точці , розглядати за умови , то геометрично це означає, що поверхня  перетинається площиною , паралельно координатній площині ; у перерізі дістаємо лінію. Тоді  є кутовим коефіцієнтом дотичної до зазначеного перерізу в точці , тобто тангенсом кута нахилу цієї дотичної до додатного напряму осі Ох. Аналогічно,  є кутовим коефіцієнтом дотичної, що проходить через точку , до кривої, яка утворюється в результаті перетину поверхні  з площиною .

Достатня умова диференційовності функції двох змінних у точці

Для функції однієї змінної твердження щодо її диференційовності та існування похідної є рівносильними. У випадку функції двох змінних ми маємо інше: існування частинних похідних - необхідна умова диференційовності функції в точці, але не є достатньою умовою диференційовності: наприклад, для функції

у точці (0; 0): , . Але ця функція розривна в точці (0; 0), а тому функція не може бути диференційовною в цій точці. Таким чином, для диференційовності функції  у точці  недостатньо тільки існування частинних похідних: потрібно додатково вимагати неперервності частинних похідних, що випливає з поданої далі теореми.

Теорема 3 . Якщо функція  у деякому околі точки  має неперервні частинні похідні, тоді вона диференційовна в точці .

Зауваження. Можна навести твердження про зв’язок між поняттями неперервності і диференційовності функції двох змінних у точці, аналогічні до тих, що виконуються для функції однієї змінної.

Теорема 3. Якщо функція  диференційовна в точці , то вона неперервна в цій точці. Обернене твердження неправильне.

---

Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 18; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!