Гомотетія. Перетворення подібності.
Конспект з теми: «Перетворення фігур»
Якщо кожну точку даної фігури змістити яким-небудь чином, то ми дістанемо нову фігуру. Говорять, що ця фігура утворилася перетворенням даної.
Перетворення однієї фігури в іншу називають рухом, якщо воно зберігає відстань між точками, тобто переводить будь-які дві точки 
і 
першої фігури у точки 
, 
другої фігури так, що 
.
Властивість: 1) два рухи , виконані послідовно, дають знову рух;
2) перетворення обернене до руху, теж є рух.
Заув.: відображення і перетворення фігури – це одне й те саме.
Властивості руху:
1) Точки, що лежать на прямій, під час руху переходять у точки, які лежать на прямій, і зберігається порядок їх взаємного розміщення.
2) Під час руху прямі переходять у прямі, півпрямі – у півпрямі, відрізки – у відрізки.
3) Під час руху зберігаються кути між півпрямими.
І. Паралельне перенесення.
Перетворення фігури 
, при якому довільна її точка 
переходить у точку 
, де 
і 
одні й ті самі для всіх точок , називається паралельним перенесенням. Паралельне перенесення задається формулами:
; 
.
Ці формули виражають координати 
точки, у яку переходить точка при паралельному перенесенні.
Властивості:
1) Паралельне перенесення є рух.
2) При паралельному перенесенні точки зміщуються вздовж паралельних прямих (або прямих, які збігаються) на одну й ту саму відстань.
|
|
|
3) При паралельному перенесенні пряма переходить у паралельну пряму (або в себе).
4) Які б не були дві точки 
і 
, існує одне і до того єдине паралельне перенесення, при якому точка переходить у точку .
Нехай задано деяку фігуру і вектор 
. Кожній точці фігури поставимо у відповідність точку 
, таку, що 
. У результаті такого перетворення фігури отримаємо фігуру 
. Таке перетворення фігури називають паралельним перенесенням на вектор .
ІІ. Осьова симетрія.
Означення. Точки і 
називають симетричними відносно прямої 
, якщо пряма є серединним перпендикуляром відрізка 
. Якщо точка належить прямій , то її вважають симетричною самій собі відносно прямої . Позначення - 
.
- називають віссю симетрії. Говорять, що фігури і симетричні відносно прямої .
Властивість: Осьова симетрія є рухом.
Будь-який кут має вісь симетрії – це пряма , яка містить його бісектрису.
Рівносторонній трикутник має три осі симетрії.
Квадрат має чотири осі симетрії.
Дві осі симетрії має відрізок: це його серединний перпендикуляр і пряма, яка містить цей відрізок.
Прямокутник і ромб мають по дві осі симетрії.
Теорема 1 – якщо фігура має дві осі симетрії, то ці осі перпендикулярні.
|
|
|
Теорема 2 – Якщо многокутник має дві або більше осей симетрії, то всі вони перетинаються в одній точці.
ІІІ. Центральна симетрія.
Означення. Точки і називають симетричними відносно точки 
, якщо точка є серединою відрізка. Точку вважають симетричною самій собі. Точка - центр симетрії. Позначення - 
.
Говорять, що фігури і симетричні відносно точки .
Властивість: центральна симетрія є рухом.
Центром симетрії відрізка є його середина.
Точка перетину діагоналей паралелограма є його центром симетрії.
Існують фігури, які мають безліч центрів симетрії. Наприклад, кожна точка прямої є її центром симетрії.
Гомотетія. Перетворення подібності.
Означення 1. Перетворення фігури F у фігуру F1 називається перетворенням подібності, якщо при цьому перетворенні відстані між точками змінюються в одну і ту саму кількість разів.
, де 
коефіцієнт подібності, одне і те саме для всіх точок і .
Зауваження. Якщо 
, то перетворення подібності є рухом.
Означення 2. Гомотетією з центром 
і коефіцієнтом 
( 
) називають перетворення площини, що переводить точку X в точку X' таким чином, що 
. Гомотетією з центром O і коефіцієнтом k часто позначають через 
.
Фігури F і F1 називають гомотетичними.
|
|
|
Властивості:
1. Гомотетія зберігає форму фігури, але не її розміри.
2. Гомотетія є перетворення подібності.
3. Градусна міра кутів при перетворенні зберігається.
4. Відповідні лінійні елементи гомотетичних фігур пропорційні з коефіцієнтом |К|
5. Перетворення подібності переводить прямі у прямі, пів прямі – у пів прямі, відрізки – у відрізки.
6. При перетворенні подібності образом трикутника є трикутник рівний даному.
Дві фігури називаються подібними, якщо вони переводяться одна в одну перетворенням подібності.
У подібних фігур відповідні кути рівні, а відповідні відрізки пропорційні.
Теорема. Відношення площ подібних многокутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.
Перетворення подібності = Гомотетія + Рух.
Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 19; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!