Свойства собственных векторов и собственных значений.

Линейные преобразования векторных пространств

1 ° . Основное определение.

Ранее рассматривали функции, т.е. правила, по которым ставилось в соответствие число. Теперь обобщим это понятие.

Определение 1. Пусть – –мерному векторному пространству поставлен в соответствие (тому же пространству). Соответствие назовём преобразованием пространства .

Преобразование называется линейным, если

Примеры:

1. Пусть – подпространство в трехмерном пространстве . соответствующему поставим в соответствие его проекцию на : . Это линейное преобразование, свойства 1, 2 – легко проверяются.

2. Пусть – матрица , – пространство – чисел . . Это линейное преобразование.

3. – пространство многочленов степени . Пусть – т.е. производная многочлена. Линейность – очевидна.

4. , – линейность из свойств интеграла.

Это пример преобразования в бесконечномерном пространстве. Далее – лишь конечномерные.

2°. Матрица линейного преобразования.

Пусть – базис в и – линейное преобразование. Каждый . Векторы не зависят от и они могут быть разложены по базису : , т.е. если , где

(1)

Определение 2. Матрицей линейного преобразования в базисе называется матрица (1), столбцы которой – координаты образов векторов в базисе .

Утверждение 1. Выбор базиса в устанавливает взаимно однозначное соответствие между линейными преобразованиями этого пространства и квадратными матрицами порядка .

Доказательство: Итак, показано, что если выбран базис, то любому преобразованию соответствует матрица (1). В соответствии с примером 2 из пункта 1, любой матрице соответствует линейное преобразование. Осталось проверить, что разным матрицам соответствуют разные преобразования. Пусть и – разные преобразования, т.е. . Если они имеют одну и ту же матрицу , то для имеем: ,то противоречит.

При изменении базиса матрица линейного преобразования, вообще говоря, изменяется.

Примеры:

1. Пусть – трёхмерное пространство с базисом , а – оператор проектирования на плоскость . Тогда матрица .

2. Если – тождественное преобразование, то

3. – многочлены степени . .

Базис : .

Тогда .

Таким образом, матрица .

Рассмотрим формулы преобразования при переходе к другому базису. Пусть . Пусть .

Свойства.

1°. Ранг матрицы линейного оператора при переходе от одного базиса к другому является инвариантом.

2°. Определитель матрицы линейного оператора инвариантен.

Доказательство. Следует из свойств ранга и определителя.

3°. Сложение и умножение линейных преобразований.

Определение 3. Произведением линейных преобразований и называется .

Очевидно, что – линейное преобразование: .

Если – единичное преобразование, то .

Можно определить степени преобразований: .

Тогда .

Пусть в базисе преобразованию соответствует матрица , , . Выразим через и .

По определению

Далее , т.е. есть сумма произведений элементов –ой строки на –ый столбец – произведение матриц все свойства произведения матриц переносятся на преобразования (ассоциативность, не коммутативность).

Определение 4. Суммой преобразований и называется . Легко показать, что матрица

Операции сложения и умножения удовлетворяют обычным свойствам сложения и умножения матриц. Это следует из того, что между матрицами и преобразованиями есть взаимно однозначное соответствие. Нулевое преобразование – нулевая матрица.

Утверждение 2. Множество преобразований линейного пространства образует кольцо, называемое кольцом эндоморфизмов.

Определение 5. Произведением линейного преобразования на число называется преобразование .

Свойства: очевидны.

Утверждение 3. множество линейных преобразований образует линейное пространство размерности .

Следствие. Матрицы – линейно зависимы множеств степени

4°. Обратное преобразование. Ядро и образ преобразования.

Определение 6. Преобразование называется обратным к , если , где – единичное преобразование.

Обратное преобразование обозначается .

Обратное преобразование не у всех. Известно, что если у матрицы A , тогда и только тогда, когда

Утверждение 4. Преобразование имеет обратное его матрица в некотором базисе имеет . Такое преобразование называется невырожденным.

Очевидно, что невырожденные преобразования являются взаимнооднозначными.

Определение 7. Взаимнооднозначное преобразование называется автоморфизмом.

Утверждение 5. Множество автоморфизмов линейного пространства образует группу, изоморфную группе невырожденных матриц.

Далее – ядро и образ линейного преобразования.

Определение 8. Совокупность всех векторов вида , где , называют образом пространства при преобразовании .

Утверждение 6. – подпространство в .

Доказательство: Пусть

Аналогично, из

Определение 9. Размерность называется рангом .

Пример: Ранг преобразования проектирования из в имеет ранг 2.

Определение 10. Совокупность векторов , называется ядром преобразования .

Утверждение 7. – подпространство в .

Доказательство: Если

Очевидно, что если не вырожденное преобразование, то его ядро состоит лишь из нуля.

Теорема 1. Пусть – произвольное линейное преобразование в . Тогда

Доказательство: Пусть . Тогда – базис в ядре , который может быть дополнен до базиса . Рассмотрим . Множество этих векторов образует подпространство, совпадающее с . Действительно, если – произвольный вектор из , то , что и требовалось доказать. ■

Покажем, что вектора – линейно независимы. От противного.

Пусть . Рассмотрим . Тогда , т.е. . Противоречие, т.к. с одной стороны x представим как линейная комбинация базисных векторов ядра, т.е. , с другой стороны . Это противоречит единственности представления вектора в базисе – линейно независимы

5°. Инвариантные подпространства линейного оператора.

Определение 11. Пусть – линейное преобразование в . Линейное подпространство называется инвариантным относительно , если .

Тривиальные инвариантные подпространства – это нулевое подпространство и всё .

Примеры:

1) , – вращение относительно некоторой прямой, проходящей через нуль. Инвариантные подпространства – ось вращения и любая плоскость, перпендикулярная оси вращения.

2) – плоскость, . инвариантные подпространства – вектора, параллельные прямой.

3) – многочлены степени . Множество многочленов степени , – инвариантное подпространство относительно дифференцирования.

4) Пусть в матрица линейного преобразования имеет вид

в базисе . Тогда – инвариантное подпространство. Если , то – тоже инвариантное подпространство.

Теорема 2. Сумма и пересечение инвариантных подпространств относительно оператора являются инвариантными подпространствами.

Доказательство: Пусть и – инвариантные подпространства относительно , т.е. если и . Рассмотрим . Пусть если пересечению, то и принадлежит пересечению.

Рассмотрим теперь , имеем , где и , сумма инвариантных подпространств – инвариантное подпространство.

Выясним, какой вид принимает матрица линейного оператора в , если и базис в состоит из базиса в и базиса в . Т.к. и – инвариантные подпространства, то .

Получилась квазидиагональная матрица, т.е. состоит из клеток, стоящих на главной диагонали, и – матрицы оператора в подпространствах и соответственно. ■

6°. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

Далее особо будем рассматривать одномерные инвариантные подпространства.

Пусть – одномерное инвариантное подпространство, порождаемое вектором , т.е. .

Определение12. Вектор , удовлетворяющий условию

(3)

называется собственным вектором, а соответствующее число – собственным числом (характеристическим числом) линейного оператора .

Итак, если – собственный вектор, то образуют одномерное инвариантное подпространство и обратно, все векторы одномерного инвариантного подпространства являются собственными.

Теорема 3. В комплексном линейном пространстве всякое линейное преобразование имеет хотя бы один собственный вектор.

Доказательство: Пусть – базис в , т.е. . Пусть матрица линейного оператора в базисе имеет вид: . Условием того, что – собственный вектор имеет вид:

(4)

Таким образом, задача построения собственных чисел и собственных векторов сводится к решению системы (4). Эта система однородных уравнений, она имеет нетривиальное решение , если ее определитель равен нулю, т.е.

(5)

или кратко

(5’)

Это уравнение степени относительно . Оно имеет хотя бы один (комплексный) корень . Подставляя в (4) вместо найденное , получим однородную систему с определителем равным нулю она имеет ненулевое решение – собственный вектор, а – собственное значение. ■

Многочлен, стоящий в левой части (5), называется характеристическим многочленом матрицы , само уравнение (5) – характеристическим уравнением матрицы . В процессе доказательства было показано, что корни характеристического многочлена – собственные значения и обратно, собственные значения преобразования – корни характеристического многочлена.

Таким образом, собственные значения преобразования определяются независимо от базиса, то должно быть, что корни характеристического многочлена не зависят от базиса. Далее будет показано, что, более того, сам характеристический многочлен не зависит от базиса. Потому говорят о характеристическом многочлене преобразования (а не о характеристическом многочлене матрицы ).

Замечание. Если рассматривать вещественные числа и вещественные линейные пространства, то решений уравнения (5) может не быть

Пример.

, , , .

Пример. , .

Свойства собственных векторов и собственных значений.

1°. Все собственные векторы, принадлежащие одному и тому же собственному значению, вместе с нулевым вектором образуют линейное подпространство. Действительно, они получены как решения СЛОУ образуют линейное подпространство.

2°. Теорема 4. Если собственные векторы , принадлежат попарно различным собственным значениям, то они линейно независимы.

Доказательство. (Методом математической индукции). – очевидно. Пусть верно для . Докажем для . Предположим противное. Пусть :

(6)

Пусть . Подействуем на это равенство. Имеем, . Умножив (6) на , вычитая из последнего равенства, имеем . Т.е., получили, что вектор линейно зависимы. Получили противоречие. ■

3°. Если и – матрицы линейного преобразования в различных базисах, то характеристические многочлены этих матриц совпадают. Действительно, .

Выпишем вид характеристического многочлена: , где – след матрицы .

4°. Известно, что у характеристического многочлена могут быть простые корни, т.е. кратности 1, а могут быть кратные корни.

Теорема 4. Пусть – корень характеристического многочлена кратности . Тогда, ему соответствует не более линейно независимых собственных векторов.

Доказательство: Пусть имеется линейно независимых собственных векторов, соответствующих : . Дополним их до базиса в : . В этом базисе матрица имеет вид , где – матрица размера . Составим матрицу и вычислим для нее определитель. Раскладывая его по первым столбцам, получаем: . По определению кратности, . ■

Замечание. Характеристическому значению кратности могут соответствовать меньше, чем линейно независимых собственных векторов: например, , . Один независимый собственный вектор.

5°. Линейное преобразование имеет собственное значение равное нулю оно не является взаимно однозначным.

Доказательство: . Если и обратно. ■

7°. О приведении матрицы преобразования к диагональному виду.

Утверждение 8. Матрица линейного преобразования в базисе имеет диагональный вид все векторы базиса – собственные векторы преобразования.

Доказательство: Действительно, если – собственный, то –ый элемент столбца , равен , а остальные равны нулю. Обратно, аналогично. ■

Утверждение 9. Если преобразование имеет n попарно различных собственных значений, то существует базис из собственных векторов этого преобразования.

Доказательство: Следует из теоремы 4.

Может оказаться, что собственное значение имеет кратность , но не существует линейно независимых собственных векторов.

Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 24; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!