Линейные комбинации двух и более радикалов.

Историческая справка

Ещё со времен вавилонян и древних индусов считается, что одной из основных целей алгебры является решение уравнений и их систем.

В древнем Вавилоне более 4000 лет назад умели решать уравнения первой, второй и некоторые уравнения третьей степени. Однако, общей теории уравнений в те времена ещё не было.

Приведём задачу, найденную в папирусе Кахуна (XVIII- XVI вв. до н.э.). Задача сформулирована в современных обозначениях и сводится по существу к решению системы уравнений: «Найдите числа ч и у, для которых х² +у² =100 и ».  В папирусе решена задача методом «ложного положения». «Положим х=1, тогда у=  и х² +у²= . Но в условии х² +у²=10², значит, в качестве х нужно брать не 1, а 10: . Тогда у=6».

В древности уравнениям придавалась геометрическая форма. Сегодня напоминания о «геометрической алгебре» встречается , например, в терминах «квадрат числа», «куб числа» и др.

Известно, что впервые правила преобразования уравнений, обосновав их, правда, геометрически, разработал выдающийся узбекский ученый первой половины IX в. Аль-Хорезми. В XII в. труды аль-Хорезми  были переведены на латинский язык и долгое время в Европе являлись основным руководством по алгебре. Арабское название операции «восполнение» (перенесение отрицательных членов уравнения в другую часть) звучало как «ал-джебер», что и дало название разделу математики, занимающемуся решением уравнений, - «алгебра».

Начало освобождения  алгебры о геометрической формы в III в. связывают с именем древнегреческого учёного Диофанта. Однако лишь после того, как французский математик Ф.Виет (1540-1603) ввел буквенные обозначения для неизвестных и известных величин, и после появления трудов Р.Декарта (1596-1650) и других европейских учёных XVI-XVII вв. процесс освобождения алгебры от геометрической терминологии был завершён. Этот процесс способствовал расцвету алгебры и развитию различных её направлений: теориям уравнений, многочленов, функций и пр.

Задание 1: Показать номер той пары чисел, которая является решением системы уравнений (методом подстановки):

Задание 2: Закончить составление системы, решением которой является пара чисел х=-3, у=2

                                              1) х+у=…..   2) х²-у²=……

                                                     х·у=…..        х+у=…..

Существует ли ещё пара чисел, удовлетворяющая данной системе?

Правило:Для решения системы двух уравнений с двумя неизвестными (методом подстановки), необходимо из одного уравнения системы выразить одно неизвестное через другое, а затем подставить полученное выражение в другое уравнение системы. Ответ записывается в виде (х;у).

Задание 3: Решить систему уравнений:

                                                        х+у=5

х·у=6

Решение:

                                        х+у=5                                     х·у=6

Выразим х через у: х=5-у, подставим во 2 уравнение:       (5-у)·у=6

5у-у² –6=0

-у²+5у-6=0 : (-1)

у²-5у+6=0

а=1,b=-5, с=6

у_1,2= =  

у₁=                у₂=

                           у₁=3                              у₂=2

                           х₁=5-у=5-3=2             х₂= 5-у =5-2=3

Ответ: (2;3), (3;2)

Задание 4: Закончить решение

                                                        х-у=2

х·у=8

Решение:

                                        х-у=2                                      х·у=8

Выразим х через у: х=2+у, подставим во 2 уравнение:       (2+у)·у=8

2у+у² –8=0

у²+2у-8=0

у_1,2= =  

у₁=                у₂=

                           у₁=2                              у₂=-4

                           х₁=2+у=2+2=4             х₂= 2+у =……………

Ответ: (4;2), (….;-4)

Задание 5: Решить систему и стрелками указать те пары чисел, которые будут являться решениями:

	(-2;-3)				(5;2)

Пример: Решить систему уравнений:

х²-у²=200

х+у=20

Решение:

(х-у)·(х+у)=200

х+у=20       (разделим первое уравнение системы на второе уравнение)

 , получим: х-у=10

х=10+у, (подставим во второе уравнение системы)

(10+у)+у=20

2у=20-10

2у=10

у=5, х=10+у=10+5=15

Ответ: (15;5)

Пример: Решить систему уравнений:

х+х·у+у=-1

х-х·у+у=3

Решение:

Сложим первое и второе уравнение системы: (х+х·у+у)+( х+х·у+у)=-1+3

х+у+х+у=2

2х+2у=2

2(х+у)=2

х+у=1, х=1-у

Подставим выражение для х в первое уравнение системы:

(1-у)+(1-у)·у+у=-1

1-у+у-у²+у=-1

-у²+у+1+1=0

-у²+у+2=0

у²-у-2=0

а=1,b=-1, с=-2

у_1,2= =  

у₁=                у₂=

                           у₁=2                              у₂=-1

                           х₁=1-у=1-2=-1                 х₂= 1-у =1-(-1)=2

Ответ: (-1;2), (2;-1)

Задание 6: Решить самостоятельно :

       1) х-у=6          2) х²-у²=27         3) х-х·у+у=7

             х·у=-5               х+у=-3                х+х·у+у=5              

Ответ записать в виде таблицы:

Проверь себя!

Контрольная работа

Уровень А:

1) Решить иррациональное уравнение:

а)

б)

в)

г)

2) Решить систему уравнений:

                    а) х-у=3                           б) х·у=-2

х·у=10                               2х+у=0

Уровень В:

1) Решить иррациональное уравнение:

    а)

                                                  б)

                       2) Решить систему уравнений:

                    а) х-2у=-7                           б) х²-у²=9

х·у=-6                                  х-у=1

Уровень С:

1) Решить иррациональное уравнение:

 а)

                                                  б)

                       2) Решить систему уравнений:

                    х-х·у+у=-7

       х+х·у+у=1

Мы поможем в написании ваших работ!