Какая фигура называется криволинейной трапецией?

Практическая работа № 19

Тема: «Вычисление площадей плоских фигур, объемов тел вращения»

Цели:

· закрепить и систематизировать теоретические знания,

· формировать умения и навыки применения определённого интеграла к решению геометрических задач.

В результате выполнения работы студент должен знать геометрический смысл определённого интеграла.

Должен уметь вычислять определённый интеграл и применять его к вычислению площадей плоских фигур, объемов тел вращения.

План выполнения практической работы

1. Повторение основных теоретических сведений по данной теме

2. Изучение методических рекомендаций по решению задач и выполнение упражнений и задач .

3. Выполнение практической самостоятельной работы по вариантам.

4. Письменные ответы на контрольные вопросы

Задания для практической работы .

Краткие теоретические сведения.

Криволинейной трапециейназывается фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке [a;b] функции f, осью Ox и прямыми x = a и x = b.

Площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс (ƒ(х) ≥ 0), равна соответствующему определенному интегралу:

Если криволинейная трапеция расположена «ниже» оси Ох (ƒ(х) < 0), то ее площадь может быть найдена по формуле

Формулы можно объединить в одну:

Площадь фигуры, ограниченной кривыми у = = fι(x) и у = ƒг(х), прямыми х = а и х = b (при условии ƒ₂(х) ≥ ƒ₁(х)), можно найти по формуле

Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то прямыми, параллельными оси Оу, ее следует разбить на части так, чтобы можно было бы применить уже известные формулы.

Пусть функция f(x) непрерывна и неотрицательна на отрезке [a, b]. Тогда тело, которое образуется вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f(x), имеет объём

Методические рекомендации по решению упражнений и задач.

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² и x = y².
Эти кривые пересекаются в точках A(0,0) и B(1,1). Поэтому

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и графиком функции у = х²- 2х при х є [0; 3].

Решение: Фигура имеет вид, изображенный

на рисунке. Находим ее площадь S:

Пример 3. Трапеция ограничена кривыми Вычислить объём тела, полученного вращением этой трапеции вокруг оси Подставляя в формулу, получаем

Задания самостоятельной работы.

Вариант 1 1. Вычислить, предварительно сделав рисунок, площадь фигуры, ограниченной линиями:

. 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

4. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

Вариант 2 1. Вычислить, предварительно сделав рисунок, площадь фигуры, ограниченной линиями:

. 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

. 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями