Задача Коши для ОДУ эйлерова типа с постоянными коэффициентами и полиномиальной правой частью. Метод неопределенных коэффициентов.
Если в ЛОДУ эйлерова типа коэффициенты постоянны, а правая часть-полином 
-го порядка
(40)
то представляя искомую функцию полиномом того же порядка с неопределенными коэффициентами
(41)
и подставляя ее в уравнение, используя равенство обеих частей редуцированного уравнения по свойству тождественности полиномов
(42)
(коэффициенты при одинаковых степенях тождественных полиномов равны) составляется конечная система алгебраических уравнений относительно неопределенных коэффициентов по алгоритму
(43)
и в результате решения этой последовательно связной системы определяются неопределенные коэффициенты, а, значит, и решение в форме полинома.
4.3.3. Метод ломаных Эйлера. Численный метод, основанный на приближенном представлении ОДУ и использующий дискретную форму представления искомой функции 
в точках разбиения заданного интервала 
, применительно к задаче Коши
(44)
имеет следующую процедуру (алгоритм) построения решения:
-задается сетка-разбиение (дискретизация) аргумента и для нее определяется шаг разбиения
(45)
- каждой точке разбиения ставится в соответствие подлежащие
определению дискретные значения функции и ее приращения
(46)
- ограничиваясь линейным представлением производной, определяется
реккурентная формула вычисления искомых значений функции
(47)
Полученные значения и есть искомое приближенное решение задачи Коши. Точность решения зависит от шага разбиения (чем меньше шаг тем лучше); часто используется постоянный шаг 
и соответствующая реккурентная формула
(48)
4.3.4. Метод изоклин.Графическое решениезадачи Коши для ОДУ первого порядка основано на геометрической трактовки уравнения как углового коэффициента касательной к интегральной кривой
(49)
и при фиксированном 
описывает кривую с равными углами наклона касательной,называемыхизоклинами. Уравнение изоклин
(50)
Метод изоклин состоит в построении семейства изоклин с нанесенными на них отрезками касательных. Множество отрезков касательных образует поле направлений касательных интегральных кривых. Алгоритм построения решения таков:
- определяется значение углового коэффициента касательной к
интегральной кривой в начальной точке и задается набор значений углового коэффициента, каждое из значений близки друг другу
- строится семейство изоклин для каждого значения выбранных угловых
коэффициентов
- под углом 
строится отрезок касательной до пересечения с
ближайшей кривой семейства 
;
- под углом 
строится отрезок касательной до пересечения с
ближайшей кривой семейства 
и т.д. до достижения точек пересечения отрезков касательных и кривых семейства предельных точек области 
.
Пример 8 (РГР). Показать на рисунке интегральную кривую уравнения
проходящую через точку 
.
Порядок построения:
- уравнению изоклин 
- соответствует семейство прямых,
проходящих через начало координат, среди которых начальная, проходящая через начальную точку 
;
- определяется начальное значение 
углового коэффициента и соответствующий набор, например, 
;
- из начальной точки под углом 
строится отрезок
касательной (в рассматриваемом случае он перпендикулярен к изоклине) до пересечения с соседней изоклиной 
;
- из точки пересечения под углом 
строится отрезок
касательной (в рассматриваемом случае он перпендикулярен к изоклине) до пересечения с соседней изоклиной 
и т.д..
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 417; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!