Вывод формулы результирующих напряжений при внецентренном растяжении-сжатии, уравнение нейтральной линии, условие прочности.
Рассмотрим стержень, нагруженный в точке сечения с координатами xF, yF силой F, параллельной продольной оси z.
Это случай внецентренного сжатия.
В сечениях стержня возникают следующие внутренние силовые факторы:
; 
; 
.
Суммарное нормальное напряжение от действия этих факторов возникает в точке сечения с координатами x, y:
С целью нахождения опасных точек сечения определим положение нейтральной линии, для этого приравняем напряжение, возникающее в точках нейтральной линии, к нулю:
,
откуда уравнение нейтральной линии имеет следующий вид:
,
где 
, 
- радиусы инерции сечения.
Определим длины отрезков, отсекаемых нейтральной линией на осях координат:
Þ 
,
Þ 
.
Условия прочности при внецентренном растяжении-сжатии:
, 
.
Аналогично данному виду деформации ведется расчет на прочность элементов конструкции, работающих при совместном действии изгиба и растяжения-сжатия.
Вывод формулы Эйлера для определения критической силы.
Для нахождения критических напряжений 
надо вычислить критическую силу 
, т. е. наименьшую осевую сжимающую силу, способную удержать в равновесии слегка искривленный сжатый стержень.
Эту задачу впервые решил академик Петербургской Академии наук Л. Эйлер в 1744 году.
Заметим, что самая постановка задачи иная, чем во всех ранее рассмотренных отделах курса. Если раньше мы определяли деформацию стержня при заданных внешних нагрузках, то здесь ставится обратная задача: задавшись искривлением оси сжатого стержня, следует определить, при каком значении осевой сжимающей силы Р такое искривление возможно.
Рассмотрим прямой стержень постоянного сечения, шарнирно опертый по концам; одна из опор допускает возможность продольного перемещения соответствующего конца стержня (рис.3). Собственным весом стержня пренебрегаем.
Рис.3. Расчетная схема в «задаче Эйлера»
Нагрузим стержень центрально приложенными продольными сжимающими силами 
и дадим ему весьма небольшое искривление в плоскости наименьшей жесткости; стержень удерживается в искривленном состоянии, что возможно, так как .
Деформация изгиба стержня предположена весьма малой, поэтому для решения поставленной задачи можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси стержня. Выбрав начало координат в точкеА и направление координатных осей, как показано на рис.3, имеем:
| (1) |
Возьмем сечение на расстоянии х от начала координат; ордината изогнутой оси в этом сечении будет у, а изгибающий момент равен
По исходной схеме изгибающий момент получается отрицательным, ординаты же при выбранном направлении оси у оказываются положительными. (Если бы стержень искривился выпуклостью книзу, то момент был бы положительным, а у — отрицательным и .)
Приведенное только что дифференциальное уравнение принимает вид:
деля обе части уравнения на EJ и обозначая дробь 
через 
приводим его к виду:
Общий интеграл этого уравнения имеет вид:
Это решение заключает в себе три неизвестных: постоянные интегрирования а и b и значение 
, так как величина критической силы нам неизвестна.
Краевые условия на концах стержня дают два уравнения:
в точке А при х = 0 прогиб у = 0,
В х = 1 у = 0.
Из первого условия следует (так как 
и coskx =1)
0 = b.
Таким образом, изогнутая ось является синусоидой с уравнением
| (2) |
Применяя второе условие, подставляем в это уравнение
у = 0 и х = l
получаем:
Отсюда следует, что или а или klравны нулю.
Еслиа равно нулю, то из уравнения (2) следует, что прогиб в любом сечении стержня равен нулю, т. е. стержень остался прямым. Это противоречит исходным предпосылкам нашего вывода. Следовательно, sinkl = 0, и величина 
может иметь следующий бесконечный ряд значений:
где 
— любое целое число.
Отсюда 
, а так как то
и 
Иначе говоря, нагрузка, способная удержать слегка искривленный стержень в равновесии, теоретически может иметь целый ряд значений. Но так как отыскивается, и интересно с практической точки зрения, наименьшее значение осевой сжимающей силы, при которой становится возможным продольный изгиб, то следует принять 
.
Первый корень =0 требует, чтобы было равно нулю, что не отвечает исходным данным задачи; поэтому этот корень должен быть отброшен и наименьшим корнем принимается значение 
. Тогда получаем выражение для критической силы:
|
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 1234; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!