Частотное представление сигналов
Частотное представление сигналов на практике чаще называют спектральным представлением,илиспектром.
Под спектральным анализом понимают определение функции S(jw) частоты w, которая определяет все спектральные составляющие сигнала s(t).
Сигнал s(t) и функция S(jw) связаны парой преобразования Фурье [6]:
(прямое преобразование), (2.9)
(обратное преобразование). (2.10)
Функция S(jw) называется комплексной спектральной плотностью амплитуд сигнала, или сокращенно спектром сигнала, и имеет размерность [амплитуда]/[частота].
Спектр периодического сигнала
При анализе спектрального состава периодических сигналов удобно использо-вать дельта-функциюd(t-t0) [2].
По определению, дельта-функция d(t-t0) для любого действительного параметра t0 равна нулю при t¹t0 и неограниченна при t=t0:
d (t-t0) . (2.11)
При спектральном анализе используется фильтрующее свойство
d-функции:
(2.12)
Периодический сигнал s(t)=s(t-kT0), k=0,±1,±2,... можно представить в виде ряда Фурье:
. (2.13)
Учитывая, что (формула Эйлера), можно заметить, что сигнал s(t) состоит из бесконечного числа синусоидальных и косинусоидальных сигналов с частотами nW1, n=-¥, ..., -2,-1,0,1,2, ...,+¥.. Эти сигналы с частотами, кратными частоте W1, называются гармоническими частотами периодического сигнала. Комплексная амплитуда n-й гармоники определяется по формуле
|
|
. (2.14)
Спектр периодического сигнала находится применением прямого преобразования Фурье (2.9) к ряду (1.13) [7]:
.
С учетом того, что
окончательно получаем
(2.15)
Коэффициенты удобно представить в виде
, (2.16)
где (2.17)
(2.18)
(2.19)
(2.20)
Зависимость модуля Сn выражения (2.16) от частоты называется спектром амплитуд, а зависимость аргумента jn от частоты - спектром фаз.
|
|
Согласно полученному выражению, спектр периодического сигнала состоит из бесконечного множества импульсных функций, расположенных на оси частот в точках n W1 (кратных основной частоте W1) и имеющих площадь, равную соответствующему коэффициенту Сn ряда Фурье (2.14).
Пример графика спектра периодического сигнала изображён на рис. 2.7.
Гармонический анализ сложных периодических сигналов в сочетании с принципом суперпозиции (наложения) представляет собой эффективное средство для изучения влияния линейных систем на прохождение сигнала. Однако, определение сигнала на выходе системы по сумме гармоник с заданными амплитудами является непростой задачей, особенно если не обеспечивается быстрая сходимость ряда Фурье, представляющего сигнал. Наиболее распространенные в технике передачи
информации сигналы этому условию не отвечают, и для удовлетворительного воспроизведения формы сигналов обычно необходимо суммирование большого числа гармоник. Метод рядов Фурье в случае исследования сложных периодических сигналов применим больше для задач анализа, нежели для их синтеза.
|
|
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 1463; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!